第1课：直线的斜率与方程

一、知识梳理

倾斜角定义：在平面直角坐标系中，把 x 轴绕着与直线的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 α 称为直线的倾斜角。

斜率公式：

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) (x₁ ≠ x₂)

斜率与倾斜角的对应关系：

特殊角的斜率：

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
k	0	√3/3	1	√3	不存在	−√3	−1	−√3/3

截距 ≠ 距离！截距可正、可负、可为 0。直线与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 称为 y 轴上的截距。

【例 1】倾斜角与斜率（基础）

（1）已知直线经过点 A(1, 2) 和 B(3, 8)，求斜率 k。

（2）已知直线 l 的倾斜角为 60°，求斜率 k。

【例 2】点斜式与斜截式（基础→中等）

（1）经过点 A(2, 5)，斜率是 4，求直线方程。

（2）经过点 B(−1, 3)，倾斜角为 45°，求直线方程。

（3）经过点 P(3, −2)，倾斜角为 90°，求直线方程。

【例 3】两点式与截距式（中等）

（1）已知直线经过 A(1, 2)、B(3, 6) 两点，求直线方程。

（2）求在 x 轴上的截距为 3，在 y 轴上的截距为 −2 的直线方程。

【例 4】截距式的易错点（提高）

求过点 P(4, −3) 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程。

1. 直线经过点 (1, 2) 和 (3, 8)，则直线的斜率为（）
A. 2 B. 3 C. −3 D. 1/3

2. 直线 x = 5 的倾斜角为（）
A. 0° B. 45° C. 90° D. 不存在

3. 经过点 (−1, 3) 且斜率为 −2 的直线方程为（）
A. y − 3 = −2(x + 1) B. y + 3 = −2(x − 1)
C. y − 3 = −2(x − 1) D. y = −2x + 1

4. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 −3 的直线方程为（）
A. x/2 + y/(−3) = 1 B. x/2 − y/3 = 1
C. 3x − 2y = 6 D. 以上都对

5. 已知直线 l 的倾斜角为 60°，则斜率 k = ______。

6. 直线 y = −x + 3 在 y 轴上的截距为 ______。

7. 经过两点 A(0, 1)、B(2, 5) 的直线方程为 ______。

8. 若三点 A(1, 1)、B(3, 5)、C(a, 7) 共线，则 a = ______。

9. 求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点 P(−2, 3)，斜率 k = −1/2
（2）经过点 M(1, −1)，倾斜角为 120°
（3）在 x 轴上的截距为 −4，在 y 轴上的截距为 2

10. 求过点 P(2, 1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。