倾斜角定义：在平面直角坐标系中，把 x 轴绕着与直线的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 α 称为直线的倾斜角。
斜率公式：
斜率与倾斜角的对应关系：
| 倾斜角 α | 斜率 k | 说明 |
|---|---|---|
| α = 0° | k = 0 | 水平线 |
| 0° < α < 90° | k > 0 | α 越大 k 越大 |
| α = 90° | k 不存在 | 竖直线 |
| 90° < α < 180° | k < 0 | α 越大 k 越大 |
特殊角的斜率：
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| k | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 | −√3 | −1 | −√3/3 |
| 名称 | 方程 | 已知条件 | 不能表示 |
|---|---|---|---|
| 点斜式 | y − y₁ = k(x − x₁) | 一点 + 斜率 | 竖直线 |
| 斜截式 | y = kx + b | 斜率 + y 截距 | 竖直线 |
| 两点式 | (y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁) | 两点 | 平行于坐标轴 |
| 截距式 | x/a + y/b = 1 | x 截距 + y 截距 | 过原点 / 平行于坐标轴 |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 | — | 无（万能） |
（1）已知直线经过点 A(1, 2) 和 B(3, 8)，求斜率 k。
（2）已知直线 l 的倾斜角为 60°，求斜率 k。
（1）k = (8 − 2)/(3 − 1) = 6/2 = 3
（2）k = tan 60° = √3
（1）经过点 A(2, 5)，斜率是 4，求直线方程。
（2）经过点 B(−1, 3)，倾斜角为 45°，求直线方程。
（3）经过点 P(3, −2)，倾斜角为 90°，求直线方程。
（1）y − 5 = 4(x − 2)，即 y = 4x − 3
（2）k = tan 45° = 1，y − 3 = 1·(x + 1)，即 y = x + 4
（3）倾斜角为 90°，斜率不存在，不能用点斜式！直线方程为 x = 3
（1）已知直线经过 A(1, 2)、B(3, 6) 两点，求直线方程。
（2）求在 x 轴上的截距为 3，在 y 轴上的截距为 −2 的直线方程。
（1）(y − 2)/(6 − 2) = (x − 1)/(3 − 1)
化简：y − 2 = 2(x − 1)，即 y = 2x
（2）x/3 + y/(−2) = 1，即 2x − 3y = 6
求过点 P(4, −3) 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程。
设 |a| = |b|，分三种情况：
情况 1：a = b ≠ 0
x/a + y/a = 1，代入 (4, −3)：4/a − 3/a = 1，a = 1
方程：x + y = 1
情况 2：a = −b ≠ 0
x/a + y/(−a) = 1，代入 (4, −3)：4/a + 3/a = 1，a = 7
方程：x − y = 7
情况 3：a = b = 0（过原点）
直线过 (0, 0) 和 (4, −3)：y = (−3/4)x，即 3x + 4y = 0
答案：x + y = 1 或 x − y = 7 或 3x + 4y = 0
B。k = (8−2)/(3−1) = 6/2 = 3
C。垂直于 x 轴的直线，倾斜角为 90°
A。点斜式：y − y₁ = k(x − x₁)，代入得 y − 3 = −2(x − (−1)) = −2(x + 1)
D。截距式 x/2 + y/(−3) = 1，化简得 x/2 − y/3 = 1，再化简得 3x − 2y = 6
√3
3
y = 2x + 1。斜率 k = (5−1)/(2−0) = 2，用点斜式 y − 1 = 2(x − 0)
4。k_AB = (5−1)/(3−1) = 2，k_AC = (7−1)/(a−1) = 6/(a−1)，令 k_AB = k_AC，得 a = 4
（1）y − 3 = −1/2(x + 2)，化简：x + 2y − 4 = 0
（2）k = tan 120° = −√3，y + 1 = −√3(x − 1)，化简：√3x + y + 1 − √3 = 0
（3）x/(−4) + y/2 = 1，化简：x − 2y + 4 = 0
分两种情况：
情况 1：截距不为 0
设 x/a + y/a = 1，代入 (2, 1)：2/a + 1/a = 1，a = 3
方程：x + y = 3
情况 2：截距为 0（过原点）
直线过 (0, 0) 和 (2, 1)，y = x/2，即 x − 2y = 0
答案：x + y = 3 或 x − 2y = 0