第3课：圆的方程

一、知识梳理

1. 圆的标准方程

(x − a)² + (y − b)² = r²

圆心 C(a, b)，半径 r
特别地：圆心在原点时 x² + y² = r²

2. 圆的一般方程

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² − 4F > 0)

圆心 (−D/2, −E/2)，半径 r = ½√(D² + E² − 4F)
配方方法：对 x 和 y 分别配方

D² + E² − 4F > 0 是方程表示圆的充要条件！

3. 求圆的方程（待定系数法）

方法	适用条件	说明
标准方程法	已知圆心或半径	设 (x−a)² + (y−b)² = r²，需三个条件
一般方程法	已知三个点	设 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，代入列方程组

4. 与圆有关的最值问题

类型	方法
距离最值	最大值 = \|PC\| + r，最小值 = \|PC\| − r
斜率最值	转化为直线与圆相切问题

二、典例精讲

【例 1】标准方程（基础）

求满足下列条件的圆的标准方程：

(1) 圆心为 (2, −3)，半径为 5

(2) 圆心为 (−1, 2)，且经过点 (3, 5)

解答

(1) 直接代入：(x − 2)² + (y + 3)² = 25

(2) r² = (3−(−1))² + (5−2)² = 16 + 9 = 25

(x + 1)² + (y − 2)² = 25

【例 2】一般方程化标准式（基础）

将下列方程化为标准形式，并指出圆心和半径：

(1) x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0

(2) x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0

解答

(1) (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = −4 + 4 + 9

(x − 2)² + (y + 3)² = 9，圆心 (2, −3)，半径 3

(2) (x² + 2x + 1) + (y² − 8y + 16) = −13 + 1 + 16

(x + 1)² + (y − 4)² = 4，圆心 (−1, 4)，半径 2

强调配方步骤：先对 x 配方，再对 y 配方，最后整理常数项。

【例 3】待定系数法（中等）

求经过三点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(0, 3) 的圆的方程。

解答

设一般方程 x² + y² + Dx + Ey + F = 0

代入 A(0,0)：F = 0

代入 B(4,0)：16 + 4D = 0，D = −4

代入 C(0,3)：9 + 3E = 0，E = −3

x² + y² − 4x − 3y = 0

化为标准式：(x − 2)² + (y − 3/2)² = 4 + 9/4 = 25/4

圆心 (2, 3/2)，半径 5/2

已知三点时，优先用一般方程，计算更简单。

【例 4】待定系数法·几何条件（中等）

已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2,−2)，且圆心 C 在直线 l: x−y+1=0 上，求圆 C 的标准方程。

解答

设圆心 C(a, a+1)（在直线 x−y+1=0 上），则 |CA|=|CB|：

(a−1)²+(a+1−1)² = (a−2)²+(a+1+2)²

a²−2a+1+a² = a²−4a+4+a²+6a+9

2a²−2a+1 = 2a²+2a+13

−4a = 12，a = −3

圆心 C(−3,−2)，r = |CA| = √((−3−1)²+(−2−1)²) = √(16+9) = 5

圆的标准方程：(x+3)²+(y+2)²=25

【例 5】距离最值问题（提高）

已知圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 4，点 P(4, 6)。

求 |PM| 的最大值和最小值，其中 M 是圆上的点。

解答

|PC| = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = 5

|PM| 最大值 = |PC| + r = 5 + 2 = 7

|PM| 最小值 = |PC| − r = 5 − 2 = 3

距离最值问题核心：圆心到定点的距离 ± 半径。一定要画图辅助理解。

【例 6】斜率最值问题（提高）

已知圆 C: x² + y² = 4，求圆上点 P(x, y) 与点 A(3, 0) 连线斜率的最大值和最小值。

解答

设斜率为 k，则直线 PA: y = k(x − 3)，即 kx − y − 3k = 0

直线与圆有交点 ⟺ 圆心到直线距离 ≤ 半径

|k×0 − 0 − 3k| / √(k² + 1) ≤ 2

|3k| / √(k² + 1) ≤ 2

9k² ≤ 4(k² + 1)

5k² ≤ 4

k² ≤ 4/5

−2√5/5 ≤ k ≤ 2√5/5

斜率最值问题转化为直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径。

三、课堂练习

一、选择题（每题 5 分，共 10 分）

1. 圆 (x − 3)² + (y + 2)² = 16 的圆心和半径分别为（）
A. (3, −2), 4 B. (−3, 2), 4 C. (3, −2), 16 D. (−3, 2), 16

答案

A。直接读出圆心 (3, −2)，半径 r = √16 = 4

2. 方程 x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0 表示的图形是（）
A. 圆 B. 点 C. 不存在 D. 直线

答案

A。配方得 (x−1)² + (y+2)² = 4，D²+E²−4F = 4+16−4 = 16 > 0，表示圆

二、填空题（每题 5 分，共 10 分）

3. 圆心为 (1, −1)，且经过点 (4, 3) 的圆的标准方程为 ______。

答案

(x−1)² + (y+1)² = 25。r² = (4−1)² + (3+1)² = 9+16 = 25

4. 将 x² + y² + 6x − 4y + 4 = 0 化为标准形式为 ______。

答案

(x+3)² + (y−2)² = 9

三、解答题（每题 15 分，共 60 分）

5. 求经过三点 A(2, 0)、B(0, 2)、C(0, 0) 的圆的方程。

解答

设 x² + y² + Dx + Ey + F = 0

代入 C(0,0)：F = 0

代入 A(2,0)：4 + 2D = 0，D = −2

代入 B(0,2)：4 + 2E = 0，E = −2

x² + y² − 2x − 2y = 0，即 (x−1)² + (y−1)² = 2

6. 已知圆 C: (x − 2)² + (y − 3)² = 9，点 P(5, 7)。
(1) 判断点 P 与圆的位置关系
(2) 求 |PM| 的最大值和最小值（M 为圆上点）

解答

(1) |PC| = √((5−2)² + (7−3)²) = √(9+16) = 5 > 3，P 在圆外

(2) 最大值 = 5 + 3 = 8，最小值 = 5 − 3 = 2

7. 求圆心在直线 y = x 上，且经过点 A(1, 2) 和 B(3, 4) 的圆的方程。

解答

圆心在 y = x 上，设圆心 (a, a)

|CA|² = (a−1)² + (a−2)² = 2a² − 6a + 5

|CB|² = (a−3)² + (a−4)² = 2a² − 14a + 25

令相等：−6a + 5 = −14a + 25，8a = 20，a = 5/2

圆心 (5/2, 5/2)，r² = 2(5/2)² − 6(5/2) + 5 = 25/2 − 15 + 5 = 5/2

(x − 5/2)² + (y − 5/2)² = 5/2

8. 已知圆 C: x² + y² = 9，求圆上点到直线 x + y − 4 = 0 的距离的最大值和最小值。

解答

圆心 (0,0) 到直线距离 d = |0 + 0 − 4| / √2 = 4/√2 = 2√2 ≈ 2.83

d = 2√2 < 3 = r，直线与圆相交

最小值 = 0，最大值 = 2√2 + 3 = 2√2 + 3

当直线与圆相交时，最小距离为 0（圆上有点在直线上）。

四、课堂小结

求圆方程的方法选择

已知圆心和半径 → 标准方程（直接写）
已知圆心和一个点 → 标准方程（求 r）
已知三个点 → 一般方程（列三元一次方程组）

易错点提醒

配方常数项算错：注意 (D/2)² 和 (E/2)² 的计算
存在条件遗漏：D² + E² − 4F > 0
最值问题转化：距离最值 = |PC| ± r