第4课：直线与圆、圆与圆

一、知识梳理

设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r：

圆心 (a, b) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离：d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

弦长公式：L = 2√(r² − d²)

过圆上点的切线：

圆 x² + y² = r² 上点 P(x₀, y₀) 的切线：x₀x + y₀y = r²

过圆外点的切线：

过圆外点求切线时，必须讨论斜率不存在的情况！

设两圆圆心距为 d，半径分别为 r₁, r₂（r₁ ≥ r₂）：

公共弦问题：两圆相交时，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

【例 1】位置关系判断（基础）

判断直线 l: 3x + 4y − 5 = 0 与圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 9 的位置关系。

【例 2】弦长问题（中等）

求直线 l: x − y + 1 = 0 被圆 C: x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0 截得的弦长。

【例 3】切线方程——过圆上点（基础）

求过圆 x² + y² = 25 上点 P(3, 4) 的切线方程。

【例 4】切线方程——过圆外点（提高·易错）

求过点 P(4, 6) 作圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 4 的切线方程。

【例 5】圆与圆位置关系（基础）

判断圆 C₁: x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 与圆 C₂: x² + y² + 2x + 2y − 7 = 0 的位置关系。

【例 6】公共弦问题（中等）

已知圆 C₁: x² + y² − 2x − 6y + 6 = 0 与圆 C₂: x² + y² − 4x − 2y + 4 = 0，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦长。

1. 直线 y = x + 1 与圆 x² + y² = 1 的位置关系是（）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定

2. 圆 x² + y² = 4 与圆 (x − 3)² + (y − 4)² = 9 的位置关系是（）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

3. 直线 x + y = 2 被圆 x² + y² = 4 截得的弦长为 ______。

4. 过点 (1, 1) 向圆 x² + y² = 2 作切线，切线方程为 ______。

5. 求直线 l: 2x + y = 0 被圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 5 截得的弦长。

6. 求过点 P(3, 4) 向圆 x² + y² = 25 所作的切线方程。

7. 已知圆 C₁: x² + y² = 9 与圆 C₂: (x − a)² + y² = 1 外切，求 a 的值。

8. 已知圆 C₁: x² + y² = 4 与圆 C₂: x² + y² − 6x + 8y = 0，判断两圆的位置关系，若相交求公共弦方程。