圆的定义：平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹。
椭圆的定义：平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹。
| 条件 | 轨迹 | 直观理解 |
|---|---|---|
| $2a > 2c$ | 椭圆 | 正常情形 |
| $2a = 2c$ | 线段 $F_1F_2$ | 动点只能在两焦点之间运动 |
| $2a < 2c$ | 不存在 | 三角不等式不允许 |
焦点在 $x$ 轴上：
焦点在 $y$ 轴上：
| 参数 | 几何意义 |
|---|---|
| $a$ | 长半轴长（原点到长轴顶点的距离） |
| $b$ | 短半轴长（原点到短轴顶点的距离） |
| $c$ | 半焦距（原点到焦点的距离） |
几何直觉：短轴端点 $B(0, b)$ 到焦点 $F_1(-c, 0)$ 的距离等于 $a$，因此在直角三角形 $OBF_1$ 中：$b^2 + c^2 = a^2$。
核心法则：比较 $x^2$ 和 $y^2$ 下面分母的大小——分母大的方向就是焦点所在轴。
| 方程 | 判断 | 焦点位置 |
|---|---|---|
| $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ | $25 > 9$ | 焦点在 $x$ 轴 |
| $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ | $16 > 4$ | 焦点在 $y$ 轴 |
已知 $F_1(-3, 0)$、$F_2(3, 0)$ 是椭圆的两个焦点，$P$ 是椭圆上一点，且 $|PF_1| + |PF_2| = 10$，求椭圆的标准方程。
已知椭圆过两点 $A(\sqrt{3}, -2)$ 和 $B(-2\sqrt{3}, 1)$，求椭圆的标准方程。
椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，$P$ 为椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
判断下列方程是否表示椭圆。若是，指出焦点位置，并写出 $a$、$b$、$c$ 的值。
(1) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{25} = 1$
(3) $x^2 + 2y^2 = 1$
(4) $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$
已知 $a = 5$，$c = 3$，求 $b$ 的值，并写出焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程。
求满足下列条件的椭圆标准方程：
(1) 焦点为 $(\pm 4, 0)$，$a = 5$
(2) 焦点为 $(0, \pm 2)$，$b = 1$
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到焦点 $F_1$ 的距离为 6，求 $P$ 到另一个焦点 $F_2$ 的距离。
若方程 $\dfrac{x^2}{m} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围。
已知椭圆过 $A(0, 2)$ 和 $B(1, 0)$ 两点，求椭圆的标准方程。
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到 $F_1$ 的距离为 8，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积。
已知 $B(0, 3)$ 是椭圆的上顶点，$F_1$、$F_2$ 是焦点，$\triangle BF_1F_2$ 是等边三角形，求椭圆的标准方程。
| 知识点 | 要点 |
|---|---|
| 椭圆定义 | $|MF_1| + |MF_2| = 2a$（$2a > 2c > 0$） |
| 退化情形 | $2a = 2c$ → 线段；$2a < 2c$ → 不存在 |
| 标准方程（焦点在 $x$ 轴） | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） |
| 标准方程（焦点在 $y$ 轴） | $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） |
| $a, b, c$ 关系 | $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大） |
| 焦点位置判断 | 分母大的方向 → 焦点所在轴 |