从标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 出发：
验证方法：将坐标代入方程，看方程是否改变。
| 对称类型 | 验证方式 | 结论 |
|---|---|---|
| 关于 $x$ 轴对称 | 将 $y$ 替换为 $-y$，方程不变 | ✓ |
| 关于 $y$ 轴对称 | 将 $x$ 替换为 $-x$，方程不变 | ✓ |
| 关于原点对称 | 同时将 $x, y$ 替换为 $-x, -y$，方程不变 | ✓ |
结论：
四个顶点坐标（焦点在 $x$ 轴）：
| 顶点 | 坐标 | 说明 |
|---|---|---|
| $A_1$ | $(-a, 0)$ | 左顶点（长轴左端点） |
| $A_2$ | $(a, 0)$ | 右顶点（长轴右端点） |
| $B_1$ | $(0, -b)$ | 下顶点（短轴下端点） |
| $B_2$ | $(0, b)$ | 上顶点（短轴上端点） |
长轴与短轴：
定义：椭圆的半焦距 $c$ 与长半轴 $a$ 的比值称为离心率，记作 $e$。
离心率的范围：$0 < e < 1$
离心率的几何意义：
| $e$ 的值 | 椭圆形状 | 直观理解 |
|---|---|---|
| $e \to 0$ | 接近圆形 | $c \to 0$，两焦点几乎重合 |
| $e \to 1$ | 非常扁平 | $c \to a$，$b \to 0$，椭圆被"压扁" |
| 性质 | 焦点在 $x$ 轴 | 焦点在 $y$ 轴 |
|---|---|---|
| 标准方程 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ |
| 范围 | $-a \leq x \leq a$，$-b \leq y \leq b$ | $-b \leq x \leq b$，$-a \leq y \leq a$ |
| 长轴端点 | $(\pm a, 0)$ | $(0, \pm a)$ |
| 短轴端点 | $(0, \pm b)$ | $(\pm b, 0)$ |
| 对称轴 | $x$ 轴、$y$ 轴 | $x$ 轴、$y$ 轴 |
| 对称中心 | 原点 | 原点 |
| 焦点 | $(\pm c, 0)$ | $(0, \pm c)$ |
| 焦距 | $2c$ | $2c$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a}$ | $e = \dfrac{c}{a}$ |
| $a, b, c$ 关系 | $a^2 = b^2 + c^2$ | $a^2 = b^2 + c^2$ |
求椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
$a^2 = 25$，$b^2 = 9$，$c^2 = a^2 - b^2 = 16$
$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的短轴长等于焦距，求离心率。
短轴长 $= 2b$，焦距 $= 2c$
由题意：$2b = 2c$，即 $b = c$
又 $a^2 = b^2 + c^2 = c^2 + c^2 = 2c^2$
所以 $a = \sqrt{2}c$
$$e = \frac{c}{a} = \frac{c}{\sqrt{2}c} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
已知椭圆的长轴长为 10，离心率为 $\dfrac{3}{5}$，求椭圆的标准方程。
$2a = 10$，$a = 5$
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$，$c = 3$
$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$
情况1：焦点在 $x$ 轴上，方程为 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
情况2：焦点在 $y$ 轴上，方程为 $\dfrac{y^2}{25} + \dfrac{x^2}{16} = 1$
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
(1) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ (2) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$
(1) $a^2 = 16$，$b^2 = 9$，$c^2 = 7$，$a = 4$，$b = 3$，$c = \sqrt{7}$
(2) $a^2 = 25$，$b^2 = 9$，$c^2 = 16$，$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$
椭圆 $4x^2 + y^2 = 16$ 的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为____，离心率为____。
化为标准形式：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
$a^2 = 16$，$b^2 = 4$，$c^2 = 12$，$a = 4$，$b = 2$，$c = 2\sqrt{3}$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\dfrac{b}{a}$ 的值。
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $c = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
$b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - \dfrac{3}{4}a^2 = \dfrac{1}{4}a^2$
$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$
比较下列各组椭圆哪一个更圆：
(1) $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
(1) 第一个：$e = \dfrac{4}{5} = 0.8$；第二个：$e = \dfrac{3}{5} = 0.6$
$e$ 越小越圆，所以第二个更圆。
(2) 第一个：$e = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0.66$；第二个：$e = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} \approx 0.87$
$e$ 越小越圆，所以第一个更圆。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个顶点为 $B(0, 2)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，求椭圆的标准方程。
顶点 $B(0, 2)$ 在 $y$ 轴上，所以 $b = 2$
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$，所以 $c = \dfrac{\sqrt{5}}{3}a$
$b^2 = a^2 - c^2$，$4 = a^2 - \dfrac{5}{9}a^2 = \dfrac{4}{9}a^2$
$a^2 = 9$，$a = 3$
椭圆方程：$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 $(2, 1)$，求椭圆的标准方程。
$2a = 2 \times 2b$，即 $a = 2b$
情况1：焦点在 $x$ 轴上，方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
代入 $(2, 1)$：$\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1$
将 $a = 2b$ 代入：$\dfrac{4}{4b^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1$，$\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1$，$\dfrac{2}{b^2} = 1$
$b^2 = 2$，$a^2 = 8$
方程：$\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1$
情况2：焦点在 $y$ 轴上，方程为 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$
代入 $(2, 1)$：$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{4}{b^2} = 1$
将 $a = 2b$ 代入：$\dfrac{1}{4b^2} + \dfrac{4}{b^2} = 1$，$\dfrac{1}{4b^2} + \dfrac{16}{4b^2} = 1$，$\dfrac{17}{4b^2} = 1$
$b^2 = \dfrac{17}{4}$，$a^2 = 17$
方程：$\dfrac{y^2}{17} + \dfrac{4x^2}{17} = 1$
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到右焦点的距离为 4，求点 $P$ 到左焦点的距离，以及 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$
由定义：$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$
$|PF_2| = 4$，所以 $|PF_1| = 10 - 4 = 6$
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，$|F_1F_2| = 2c = 8$
用海伦公式求面积：$s = \dfrac{6 + 4 + 8}{2} = 9$
$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9 \times 3 \times 5 \times 1} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$
| 知识点 | 要点 |
|---|---|
| 范围 | $-a \leq x \leq a$，$-b \leq y \leq b$（有界性） |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称 |
| 顶点 | 四个顶点：$(\pm a, 0)$，$(0, \pm b)$ |
| 长轴/短轴 | 长轴长 $= 2a$，短轴长 $= 2b$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$，$0 < e < 1$ |
| 形状判断 | $e$ 越小越圆，$e$ 越大越扁 |