核心思想：联立直线方程与椭圆方程，通过判别式 $\Delta$ 判断位置关系。
设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，直线 $y = kx + m$。
联立代入：将 $y = kx + m$ 代入椭圆方程：
判别式：$\Delta = 4a^2b^2(a^2k^2 + b^2 - m^2)$
| 判别式 | 位置关系 | 交点个数 |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 相交 | 2 |
| $\Delta = 0$ | 相切 | 1 |
| $\Delta < 0$ | 相离 | 0 |
第一步：设直线方程（注意斜率是否存在）
第二步：代入椭圆方程，整理为 $Ax^2 + Bx + C = 0$
第三步：计算判别式 $\Delta$，判断位置关系
第四步：若 $\Delta \geq 0$，利用韦达定理
设 $x_1, x_2$ 是一元二次方程的两个根：
中点坐标：
判断直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的位置关系。
$a^2 = 4$，$b^2 = 1$，$k = 1$，$m = 1$
代入判别条件：$a^2k^2 + b^2 - m^2 = 4 \times 1 + 1 - 1 = 4 > 0$
所以 $\Delta > 0$，直线与椭圆相交。
直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。
代入椭圆方程：$\dfrac{x^2}{4} + (x+1)^2 = 1$
$x^2 + 4(x^2 + 2x + 1) = 4$
$5x^2 + 8x = 0$
$x(5x + 8) = 0$，$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{8}{5}$
$|x_1 - x_2| = \dfrac{8}{5}$
$$|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \times \frac{8}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$$
已知直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{5} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，且 $|AB| = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$，求 $k$ 的值。
$a^2 = 5$，$b^2 = 1$，$m = 1$
联立：$(1 + 5k^2)x^2 + 10kx + 5(1 - 1) = 0$
$(1 + 5k^2)x^2 + 10kx = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{10k}{1 + 5k^2}$，$x_1 x_2 = 0$
$|x_1 - x_2|^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \dfrac{100k^2}{(1 + 5k^2)^2}$
$$|AB|^2 = (1 + k^2) \cdot \frac{100k^2}{(1 + 5k^2)^2} = \frac{50}{9}$$
解方程得 $k = \pm 1$。
判断直线 $y = 2x + 3$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的位置关系。
$a^2 = 9$，$b^2 = 4$，$k = 2$，$m = 3$
$a^2k^2 + b^2 - m^2 = 9 \times 4 + 4 - 9 = 31 > 0$
所以 $\Delta > 0$，直线与椭圆相交。
直线 $x = 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。
代入 $x = 1$：$\dfrac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = \dfrac{3}{4}$，$y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$|AB| = |y_1 - y_2| = \sqrt{3}$
求直线 $y = x$ 被椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 截得的弦长。
代入：$\dfrac{x^2}{4} + x^2 = 1$
$\dfrac{5x^2}{4} = 1$，$x^2 = \dfrac{4}{5}$，$x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$|x_1 - x_2| = \dfrac{4}{\sqrt{5}}$
$|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \times \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$
若直线 $y = kx + 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 相切，求 $k$ 的值。
相切条件：$m^2 = a^2k^2 + b^2$
$4 = 4k^2 + 1$
$k^2 = \dfrac{3}{4}$，$k = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $AB$ 的中点横坐标为 $-\dfrac{3}{4}$，求 $k$ 的值。
$a^2 = 3$，$b^2 = 1$，$m = 1$
联立：$(1 + 3k^2)x^2 + 6kx = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{6k}{1 + 3k^2}$
$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{3k}{1 + 3k^2} = -\dfrac{3}{4}$
$4k = 1 + 3k^2$
$3k^2 - 4k + 1 = 0$
$(3k - 1)(k - 1) = 0$
$k = \dfrac{1}{3}$ 或 $k = 1$
过点 $P(1, 1)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $P$ 为 $AB$ 的中点，求直线 $l$ 的方程。
方法一：韦达定理
设直线 $y - 1 = k(x - 1)$，即 $y = kx + (1 - k)$
代入椭圆：$(1 + 4k^2)x^2 + 8k(1-k)x + 4(1-k)^2 - 4 = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{8k(1-k)}{1 + 4k^2}$
$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{4k(1-k)}{1 + 4k^2} = 1$
$-4k + 4k^2 = 1 + 4k^2$
$-4k = 1$，$k = -\dfrac{1}{4}$
直线方程：$y - 1 = -\dfrac{1}{4}(x - 1)$
即 $x + 4y - 5 = 0$
方法二：点差法
设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，中点 $P(1, 1)$
$\dfrac{x_1^2}{4} + y_1^2 = 1$，$\dfrac{x_2^2}{4} + y_2^2 = 1$
两式相减：$\dfrac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} + (y_1+y_2)(y_1-y_2) = 0$
$\dfrac{2 \times 1}{4} + 2 \times 1 \times k = 0$
$\dfrac{1}{2} + 2k = 0$，$k = -\dfrac{1}{4}$
直线方程：$x + 4y - 5 = 0$
| 知识点 | 要点 |
|---|---|
| 位置关系判定 | 联立 → 判别式 $\Delta$ |
| 相切条件 | $m^2 = a^2k^2 + b^2$ |
| 韦达定理 | $x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$，$x_1 x_2 = \dfrac{C}{A}$ |
| 弦长公式 | $|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$ |
| 中点坐标 | $x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ |