姓名：______________ 日期：______________
测试范围：直线与方程（第1–2课）、圆与方程（第3–4课）、椭圆定义与标准方程（第5课）、椭圆几何性质（第6课）、直线与椭圆（第7课）
一、选择题 每题5分，共40分
1. 直线 $3x - 4y + 5 = 0$ 的斜率为（ ）
A. $\dfrac{3}{4}$ B. $-\dfrac{3}{4}$ C. $\dfrac{4}{3}$ D. $-\dfrac{4}{3}$
2. 圆 $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. $(1, -2)$，$r = 3$ B. $(-1, 2)$，$r = 3$
C. $(1, -2)$，$r = 9$ D. $(-1, 2)$，$r = 9$
3. 椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的离心率为（ ）
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ B. $\dfrac{3}{4}$ C. $\dfrac{4}{3}$ D. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
4. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的短轴长等于焦距，则离心率为（ ）
A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\sqrt{2}$
5. 直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
6. 椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点的距离为 6，则 $P$ 到右焦点的距离为（ ）
7. 若方程 $\dfrac{x^2}{m} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（ ）
A. $m > 4$ B. $0 < m < 4$ C. $m > 0$ D. $m < 4$
8. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，$P$ 为椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 60°$，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积为（ ）
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ B. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ C. $4\sqrt{3}$ D. $8\sqrt{3}$
二、填空题 每题5分，共20分
9. 直线 $2x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + 2y - 3 = 0$ 的位置关系是________。
10. 椭圆 $4x^2 + y^2 = 16$ 的长轴长为________，短轴长为________。
11. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\dfrac{b}{a} =$ ________。
12. 直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{5} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $|AB| = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$，则 $k =$ ________。
三、解答题 每题10分，共40分
13.（10分）
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的长轴长为 10，离心率为 $\dfrac{3}{5}$。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求椭圆的焦点坐标和顶点坐标。
14.（10分）
已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且与 $x$ 轴相切于点 $(2, 0)$。
（1）求圆 $C$ 的标准方程；
（2）若直线 $l: y = kx + 1$ 与圆 $C$ 相切，求 $k$ 的值。
15.（10分）
椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $P$ 在椭圆上，且 $|PF_1| = 6$。
（1）求 $|PF_2|$ 的值；
（2）求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积。
16.（10分）
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，直线 $l: y = x + m$ 与椭圆交于 $A$、$B$ 两点。
（1）若 $|AB| = \dfrac{12\sqrt{2}}{5}$，求 $m$ 的值；
（2）若 $AB$ 的中点为 $M$，求 $M$ 的轨迹方程。