第10课：抛物线

一、知识导入

回顾椭圆和双曲线的统一定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 $e$（离心率）的点的轨迹。

当 $0 < e < 1$ 时，轨迹为椭圆
当 $e > 1$ 时，轨迹为 双曲线
当 $e = 1$ 时，轨迹为 抛物线

抛物线是圆锥曲线中离心率恰好等于 1 的特殊情况。

二、抛物线的定义

2.1 定义

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F$ 不在 $l$ 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

焦点：定点 $F$
准线：定直线 $l$
焦半径：抛物线上任意一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离 $|PF|$

2.2 数学表达

$$\{P \mid |PF| = d(P, l)\}$$

其中 $d(P, l)$ 表示点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。

思考：如果 $F$ 在 $l$ 上，轨迹是什么？
答：过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线。

三、抛物线的标准方程

3.1 方程推导

设焦点到准线的距离为 $p$（$p > 0$）。

以过焦点 $F$ 且垂直于准线 $l$ 的直线为 $x$ 轴（或 $y$ 轴），以焦点到准线的中点为原点建立坐标系。

以 $y^2 = 2px$ 为例：

设焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线 $l: x = -\dfrac{p}{2}$。

设 $P(x, y)$ 为抛物线上任意一点，由定义 $|PF| = d(P, l)$：

$$\sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = x + \frac{p}{2}$$

两边平方：

$$\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2$$

$$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$$

$$y^2 = 2px$$

3.2 四种标准方程

图形特征	标准方程	焦点坐标	准线方程	开口方向
开口向右	$y^2 = 2px$	$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = -\dfrac{p}{2}$	右
开口向左	$y^2 = -2px$	$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = \dfrac{p}{2}$	左
开口向上	$x^2 = 2py$	$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$	$y = -\dfrac{p}{2}$	上
开口向下	$x^2 = -2py$	$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$	$y = \dfrac{p}{2}$	下

3.3 记忆要点

一次项变量决定对称轴：$y^2$ 型 → 对称轴为 $x$ 轴；$x^2$ 型 → 对称轴为 $y$ 轴
一次项系数正负决定开口方向：正号 → 开口向正方向；负号 → 开口向负方向
$p$ 的几何意义：焦点到准线的距离（$p > 0$）
记忆口诀："焦正准负" — 焦点坐标取正号，准线方程取负号

四、抛物线的几何性质

4.1 基本性质（以 $y^2 = 2px$ 为例）

性质	内容
范围	$x \geq 0$，$y \in \mathbb{R}$
对称性	关于 $x$ 轴对称
顶点	原点 $O(0, 0)$
离心率	$e = 1$
焦半径	$\|PF\| = x_0 + \dfrac{p}{2}$

4.2 通径

定义：过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。

对于 $y^2 = 2px$，通径端点为 $\left(\dfrac{p}{2}, p\right)$ 和 $\left(\dfrac{p}{2}, -p\right)$。

通径长 $= 2p$

性质：通径是所有过焦点的弦中最短的。

4.3 焦半径公式

对于抛物线 $y^2 = 2px$ 上的点 $P(x_0, y_0)$：

$$|PF| = x_0 + \frac{p}{2}$$

这个公式将"到焦点的距离"转化为"到准线的距离"，是抛物线问题的核心工具。

五、焦点弦性质

5.1 焦点弦长公式

设抛物线 $y^2 = 2px$，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 两点。

弦长公式：$$|AB| = x_1 + x_2 + p$$

5.2 韦达定理应用

设直线 $AB$：$y = k\left(x - \dfrac{p}{2}\right)$，代入 $y^2 = 2px$：

$$x_1 + x_2 = p + \frac{2p}{k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{p^2}{4}, \quad y_1 y_2 = -p^2$$

5.3 重要结论

以焦点弦 $AB$ 为直径的圆与准线相切
焦点弦中点到准线的距离等于焦点弦长的一半
$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$（定值）
$y_1 y_2 = -p^2$（定值）

六、抛物线与直线的位置关系

6.1 判断方法

联立抛物线方程与直线方程，通过判别式 $\Delta$ 判断。

设抛物线 $y^2 = 2px$，直线 $y = kx + b$，联立：

$$(kx + b)^2 = 2px \implies k^2 x^2 + (2kb - 2p)x + b^2 = 0$$

判别式	位置关系
$\Delta > 0$	相交（两个交点）
$\Delta = 0$	相切（一个交点）
$\Delta < 0$	相离（无交点）

6.2 特殊情况

当 $k = 0$ 时，直线平行于对称轴，与抛物线只有一个交点（不是相切）
当直线垂直于对称轴时，需单独讨论

6.3 弦长公式

$$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$

七、典型例题

【例题1】求抛物线方程

已知抛物线的焦点为 $F(2, 0)$，求抛物线的标准方程。

【例题2】求焦点和准线

求抛物线 $x^2 = -6y$ 的焦点坐标和准线方程。

【例题3】求通径长

求抛物线 $y^2 = 10x$ 的通径长。

【例题4】利用定义求焦半径

已知抛物线 $y^2 = 8x$ 上的点 $P$ 到焦点的距离为 $5$，求点 $P$ 的横坐标。

【例题5】求抛物线方程（已知准线）

已知抛物线的准线方程为 $y = 1$，求抛物线的标准方程。

【例题6】判断位置关系

判断直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 的位置关系。

【例题7】求焦点弦长

过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $A$、$B$ 的横坐标之和为 $6$，求 $|AB|$。

【例题8】求轨迹方程

已知点 $P$ 到点 $F(1, 0)$ 的距离等于它到直线 $x = -1$ 的距离，求点 $P$ 的轨迹方程。

【例题9】焦点弦综合

过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 两点，求 $y_1 y_2$ 的值。

【例题10】弦长问题

已知直线 $l: y = 2x - 4$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 相交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。

【例题11】中点弦问题

已知抛物线 $y^2 = 6x$，求以点 $M(3, 3)$ 为中点的弦所在直线的方程。

【例题12】面积问题

过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $|AF| = 3$，求 $\triangle AOB$ 的面积（$O$ 为原点）。

八、课堂练习

基础练习

求抛物线 $y^2 = -12x$ 的焦点坐标和准线方程。
已知抛物线的焦点为 $F(0, -2)$，求抛物线的标准方程。
求抛物线 $x^2 = 8y$ 的通径长。
已知抛物线 $y^2 = 6x$ 上的点 $P$ 的横坐标为 $2$，求点 $P$ 到焦点的距离。
求以原点为顶点，准线为 $x = -\dfrac{5}{2}$ 的抛物线方程。
判断直线 $y = 2x + 1$ 与抛物线 $y^2 = 8x$ 的位置关系。
过抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $x_1 + x_2 = 10$，求 $|AB|$。
已知点 $P$ 到点 $F(0, 2)$ 的距离等于它到直线 $y = -2$ 的距离，求点 $P$ 的轨迹方程。

九、课堂小结

知识框架

抛物线
├── 定义：|PF| = d(P, l)
├── 四种标准方程
│   ├── y² = 2px（开口向右）
│   ├── y² = -2px（开口向左）
│   ├── x² = 2py（开口向上）
│   └── x² = -2py（开口向下）
├── 几何性质
│   ├── 顶点、对称轴、离心率 e=1
│   ├── 通径长 = 2p
│   └── 焦半径 |PF| = x₀ + p/2
├── 焦点弦
│   ├── 弦长 |AB| = x₁ + x₂ + p
│   └── y₁y₂ = -p²，x₁x₂ = p²/4
└── 与直线位置关系：联立 + 判别式

易错点提醒

四种方程混淆 → 画表格对比，记住"一次项变量定对称轴，系数正负定开口"
焦点准线符号错误 → 口诀"焦正准负"
焦半径公式 → 注意 $x_0 \geq 0$ 的前提
联立时忽略特殊情况 → $k = 0$ 时不是相切
焦点弦长公式 → $|AB| = x_1 + x_2 + p$，不是 $+ 2p$

十、课后作业

教材习题 3.3 第 1-8 题
求抛物线 $y^2 = 12x$ 的焦点坐标、准线方程和通径长
已知抛物线 $x^2 = -4y$ 上的点 $P$ 到焦点的距离为 $5$，求点 $P$ 的纵坐标
过抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $|AB| = 12$，求 $A$、$B$ 的横坐标之和