我们已经学完了三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。本课将系统对比三种曲线，查漏补缺，强化基础。
核心问题：三种曲线有什么共性和差异？
平面内到一个定点 $F$（焦点）和一条定直线 $l$（准线，$F \notin l$）的距离之比等于常数 $e$（离心率）的点的轨迹：
| 离心率 | 轨迹 |
|---|---|
| $0 < e < 1$ | 椭圆 |
| $e = 1$ | 抛物线 |
| $e > 1$ | 双曲线 |
这是三种圆锥曲线的统一描述——离心率 $e$ 决定了曲线的类型。
| 曲线 | 定义 | 关键条件 |
|---|---|---|
| 椭圆 | 到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$ | $2a > 2c > 0$ |
| 双曲线 | 到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$ | $0 < 2a < 2c$ |
| 抛物线 | 到一定点 $F$ 和一定直线 $l$ 的距离相等 | $F \notin l$ |
| 曲线 | 焦点在 $x$ 轴 | 焦点在 $y$ 轴 | 参数关系 |
|---|---|---|---|
| 椭圆 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ | $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大） |
| 双曲线 | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ | $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大） |
| 抛物线 | $y^2 = 2px$（开口向右） | $x^2 = 2py$（开口向上） | 仅一个参数 $p$ |
| 性质 | 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 抛物线 $y^2=2px$ |
|---|---|---|---|
| 范围 | $-a \leq x \leq a$（有界） | $|x| \geq a$（无界） | $x \geq 0$（无界） |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点 | 关于 $x$ 轴 |
| 顶点 | $(\pm a, 0), (0, \pm b)$ | $(\pm a, 0)$ | $(0, 0)$ |
| 焦点 | $(\pm c, 0)$ | $(\pm c, 0)$ | $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ |
| 离心率 | $e \in (0, 1)$ | $e \in (1, +\infty)$ | $e = 1$ |
| 渐近线 | 无 | $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ | 无 |
| 准线 | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ | $x = -\dfrac{p}{2}$ |
| 通径 | $\dfrac{2b^2}{a}$ | $\dfrac{2b^2}{a}$ | $2p$ |
思路：判断动点满足哪种圆锥曲线的定义，直接写出方程。
适用场景：
步骤：
思路：动点 $M(x, y)$ 依赖于已知曲线上的点 $P(x_0, y_0)$，用 $x, y$ 表示 $x_0, y_0$，代入 $P$ 的方程。
步骤：
思路：根据题意直接列等量关系，化简得方程。
判断下列方程分别表示什么曲线，并指出其焦点坐标和离心率。
(1) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$
(3) $y^2 = 12x$
填写下表：
| 性质 | $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ | $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ | $y^2=16x$ |
|---|---|---|---|
| 曲线类型 | |||
| 顶点 | |||
| 焦点 | |||
| 离心率 | |||
| 准线 |
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $e_2$，求 $e_2$。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率为 $2$，求双曲线方程。
已知 $F_1(-4, 0)$，$F_2(4, 0)$，动点 $P$ 满足 $|PF_1| + |PF_2| = 10$，求 $P$ 的轨迹方程。
已知 $F_1(-5, 0)$，$F_2(5, 0)$，动点 $P$ 满足 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 6$，求 $P$ 的轨迹方程。
已知双曲线过点 $(3\sqrt{2}, 2)$，且一条渐近线方程为 $y = \dfrac{2}{3}x$，求双曲线方程。
已知 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上的动点，$M$ 为 $P$ 到 $x$ 轴的垂足，且 $\overrightarrow{PM} = 2\overrightarrow{MN}$（$N$ 在 $PM$ 的延长线上），求 $N$ 的轨迹方程。
$P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上的点，$F_1, F_2$ 是椭圆的两个焦点，若 $\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求直线 $AB$ 的方程。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，求以点 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ 为中点的弦所在直线的方程。
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，直线 $l: y = x + m$。
(1) 若 $l$ 与 $C$ 有两个不同交点，求 $m$ 的取值范围；
(2) 若 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|AB| = \dfrac{4\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{5}$，求 $m$ 的值。
圆锥曲线
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椭圆 双曲线 抛物线
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定义 方程 性质 定义 方程 性质 定义 方程 性质
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统一定义（焦点-准线）
离心率 e 分类
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求轨迹方程 几何性质应用 直线与曲线
├ 直接法 ├ 焦点三角形 ├ 联立方程
├ 定义法 ├ 离心率问题 ├ 韦达定理
├ 待定系数法 ├ 渐近线问题 ├ 弦长公式
└ 相关点法 └ 准线问题 └ 中点弦问题