一、轨迹方程求法
1.1 定义法
适用场景：动点满足圆锥曲线定义条件
解题步骤：
- 识别动点运动的几何特征
- 对照圆锥曲线定义
- 确定曲线类型和参数
- 写出标准方程
1.2 待定系数法
适用场景：已知曲线类型，求具体方程
解题步骤：
- 设出标准方程形式（注意焦点位置讨论）
- 根据已知条件列方程组
- 求解参数 $a, b, c$
- 验证并写出方程
1.3 相关点法（代入法）
适用场景：动点 $P$ 与已知曲线上的点 $Q$ 有关联
解题步骤：
- 设 $P(x, y)$，$Q(x_0, y_0)$
- 建立 $x, y$ 与 $x_0, y_0$ 的关系
- 将 $Q$ 点坐标用 $P$ 点坐标表示
- 代入 $Q$ 所在曲线方程
- 化简得 $P$ 的轨迹方程
二、离心率求法
2.1 直接法
已知 $a, b, c$ 的具体值：$e = \dfrac{c}{a}$
2.2 方程法
已知关于 $a, b, c$ 的等量关系，利用 $c^2 = a^2 - b^2$（椭圆）或 $c^2 = a^2 + b^2$（双曲线）消元，解关于 $a, c$ 的方程。
2.3 不等式法
求离心率的取值范围：根据几何条件列不等式，转化为关于 $e$ 的不等式，结合 $0 < e < 1$（椭圆）或 $e > 1$（双曲线）求解。
三、弦长与中点问题
3.1 联立 + 韦达定理
设直线 $y = kx + m$，圆锥曲线方程，联立后利用韦达定理：
- $x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$
- $x_1 x_2 = \dfrac{C}{A}$
弦长公式：$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2|$
3.2 点差法（中点弦）
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在曲线上，中点 $M(x_0, y_0)$，两式相减求斜率。
四、面积问题
4.1 三角形面积
$S = \dfrac{1}{2} |AB| \cdot d$（$d$ 为点到直线距离）
4.2 最值问题
利用均值不等式、二次函数最值、三角函数有界性等。
五、典型例题
【例题1】定义法求轨迹方程
动点 $P$ 到定点 $F(1, 0)$ 的距离与到定直线 $x = 4$ 的距离之比为 $\dfrac{1}{2}$，求 $P$ 的轨迹方程。
【例题2】待定系数法求椭圆方程
已知椭圆过点 $(2, \sqrt{3})$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，求标准方程。
【例题3】相关点法
$Q$ 是圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上的动点，$P(x, y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OQ}$，求 $P$ 的轨迹方程。
【例题4】直接法求离心率
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的离心率为______。
【例题5】方程法求离心率
已知椭圆焦距是短轴长的 $2$ 倍，求离心率。
【例题6】不等式法求离心率范围
已知椭圆上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 90°$，求离心率范围。
【例题7】联立+韦达定理求弦长
直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|AB|$。
【例题8】点差法求中点弦
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，求以点 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ 为中点的弦所在直线方程。
【例题9】三角形面积
椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的两个焦点为 $F_1, F_2$，$P$ 是椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
【例题10】面积最值
过椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的右焦点 $F$ 作直线交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值（$O$ 为原点）。
【例题11】抛物线焦点弦
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求直线 $AB$ 的方程。
【例题12】双曲线综合
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的一条渐近线为 $y = \sqrt{3}x$，且一个焦点为 $(4, 0)$，求双曲线方程和离心率。
六、课堂练习
基础练习
1. 椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$ 的离心率为______。
2. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且过点 $(2, 1)$，求椭圆方程。
3. 动点 $P$ 到点 $F(2, 0)$ 的距离等于到直线 $x = -2$ 的距离，求 $P$ 的轨迹方程。
4. 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的渐近线方程为______，离心率为______。
5. 直线 $y = 2x + 1$ 与抛物线 $y^2 = 8x$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|AB|$。
6. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，求以点 $M(1, 1)$ 为中点的弦所在直线方程。
7. 椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点的距离为 $6$，求 $P$ 到右焦点的距离。
8. 过抛物线 $y^2 = 6x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 12$，求 $A, B$ 横坐标之和。
七、课堂小结
方法选择策略
| 题型 | 首选方法 | 备选方法 |
|---|
| 轨迹方程 | 定义法（满足定义条件时） | 待定系数法、相关点法 |
| 离心率 | 直接法（已知 $a, b, c$） | 方程法、不等式法 |
| 弦长 | 联立 + 韦达定理 | 焦点弦公式（抛物线） |
| 中点弦 | 点差法 | 联立 + 韦达定理 |
| 面积 | $S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d$ | 向量叉积、坐标公式 |
易错点提醒
- 焦点位置讨论：椭圆/双曲线必须考虑焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴
- 判别式检验：联立后必须验证 $\Delta > 0$
- 韦达定理符号：$x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$，注意负号
- 点差法验证：求出斜率后要验证弦确实存在
八、课后作业
- 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $(\sqrt{2}, 1)$，求椭圆方程
- 过抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 16$，求直线方程
- 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，直线 $l$ 过点 $P(1, 0)$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值