适用场景：动点满足圆锥曲线定义条件
解题步骤：
适用场景：已知曲线类型，求具体方程
解题步骤：
适用场景：动点 $P$ 与已知曲线上的点 $Q$ 有关联
解题步骤：
已知 $a, b, c$ 的具体值：$e = \dfrac{c}{a}$
已知关于 $a, b, c$ 的等量关系，利用 $c^2 = a^2 - b^2$（椭圆）或 $c^2 = a^2 + b^2$（双曲线）消元，解关于 $a, c$ 的方程。
求离心率的取值范围：根据几何条件列不等式，转化为关于 $e$ 的不等式，结合 $0 < e < 1$（椭圆）或 $e > 1$（双曲线）求解。
设直线 $y = kx + m$，圆锥曲线方程，联立后利用韦达定理：
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在曲线上，中点 $M(x_0, y_0)$，两式相减求斜率。
利用均值不等式、二次函数最值、三角函数有界性等。
动点 $P$ 到定点 $F(1, 0)$ 的距离与到定直线 $x = 4$ 的距离之比为 $\dfrac{1}{2}$，求 $P$ 的轨迹方程。
设 $P(x, y)$，由题意：
$$\frac{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}}{|x-4|} = \frac{1}{2}$$
两边平方：
$$4[(x-1)^2 + y^2] = (x-4)^2$$
$$4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 - 8x + 16$$
$$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$$
$$3x^2 + 4y^2 = 12$$
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$
轨迹方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$（椭圆）。
已知椭圆过点 $(2, \sqrt{3})$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，求标准方程。
由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$，得 $c = \dfrac{a}{2}$。
由 $c^2 = a^2 - b^2$，得 $\dfrac{a^2}{4} = a^2 - b^2$，即 $b^2 = \dfrac{3a^2}{4}$。
情况一：焦点在 $x$ 轴，$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{\frac{3a^2}{4}} = 1$。
代入 $(2, \sqrt{3})$：$\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{3}{\frac{3a^2}{4}} = 1$
$\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{4}{a^2} = 1$，$a^2 = 8$，$b^2 = 6$。
方程为 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{6} = 1$。
情况二：焦点在 $y$ 轴，$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{\frac{3a^2}{4}} = 1$。
代入 $(2, \sqrt{3})$：$\dfrac{3}{a^2} + \dfrac{4}{\frac{3a^2}{4}} = 1$
$\dfrac{3}{a^2} + \dfrac{16}{3a^2} = 1$
$\dfrac{9 + 16}{3a^2} = 1$，$a^2 = \dfrac{25}{3}$，$b^2 = \dfrac{25}{4}$。
方程为 $\dfrac{y^2}{\frac{25}{3}} + \dfrac{x^2}{\frac{25}{4}} = 1$，即 $\dfrac{3y^2}{25} + \dfrac{4x^2}{25} = 1$。
$Q$ 是圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上的动点，$P(x, y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OQ}$，求 $P$ 的轨迹方程。
设 $Q(x_0, y_0)$，则 $x_0^2 + y_0^2 = 4$。
由 $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OQ}$：$(x, y) = 2(x_0, y_0)$。
所以 $x = 2x_0$，$y = 2y_0$，即 $x_0 = \dfrac{x}{2}$，$y_0 = \dfrac{y}{2}$。
代入 $x_0^2 + y_0^2 = 4$：
$$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 4$$
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 4$$
$$x^2 + y^2 = 16$$
$P$ 的轨迹方程为 $x^2 + y^2 = 16$（圆）。
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的离心率为______。
$a^2 = 25$，$b^2 = 16$，$c^2 = a^2 - b^2 = 9$。
$a = 5$，$c = 3$。
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$。
已知椭圆焦距是短轴长的 $2$ 倍，求离心率。
由题意：$2c = 2 \times 2b$，即 $c = 2b$。
由 $c^2 = a^2 - b^2$：$4b^2 = a^2 - b^2$，$a^2 = 5b^2$。
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2b}{\sqrt{5}b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
已知椭圆上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 90°$，求离心率范围。
设 $|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，则 $r_1 + r_2 = 2a$。
由 $\angle F_1PF_2 = 90°$：$r_1^2 + r_2^2 = (2c)^2 = 4c^2$。
又 $(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$，即 $4a^2 = 4c^2 + 2r_1r_2$。
所以 $r_1r_2 = 2(a^2 - c^2) = 2b^2$。
由均值不等式：$r_1r_2 \leq \left(\dfrac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = a^2$。
所以 $2b^2 \leq a^2$，即 $2(a^2 - c^2) \leq a^2$。
$2a^2 - 2c^2 \leq a^2$，$a^2 \leq 2c^2$。
$e^2 = \dfrac{c^2}{a^2} \geq \dfrac{1}{2}$，$e \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
又 $e < 1$，所以 $e \in \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$。
直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|AB|$。
联立：
$$\frac{x^2}{4} + (x+1)^2 = 1$$
$$x^2 + 4(x+1)^2 = 4$$
$$x^2 + 4x^2 + 8x + 4 = 4$$
$$5x^2 + 8x = 0$$
$$x(5x + 8) = 0$$
$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{8}{5}$。
$y_1 = 1$，$y_2 = -\dfrac{8}{5} + 1 = -\dfrac{3}{5}$。
$A(0, 1)$，$B\left(-\dfrac{8}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)$。
$$|AB| = \sqrt{\left(-\frac{8}{5}\right)^2 + \left(-\frac{3}{5} - 1\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，求以点 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ 为中点的弦所在直线方程。
设弦的两端点为 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
$$\frac{x_1^2}{4} + y_1^2 = 1 \quad \cdots (1)$$
$$\frac{x_2^2}{4} + y_2^2 = 1 \quad \cdots (2)$$
$(1) - (2)$：
$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{4} + (y_1^2 - y_2^2) = 0$$
$$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} + (y_1+y_2)(y_1-y_2) = 0$$
中点 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$：$x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 1$。
$$\frac{2(x_1-x_2)}{4} + 1 \cdot (y_1-y_2) = 0$$
$$\frac{x_1-x_2}{2} + (y_1-y_2) = 0$$
斜率 $k = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\dfrac{1}{2}$。
直线方程：$y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$
$y = -\dfrac{1}{2}x + 1$
即 $x + 2y - 2 = 0$。
椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的两个焦点为 $F_1, F_2$，$P$ 是椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
$a = 2$，$b = 1$，$c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$。
$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 4$。
设 $|PF_1| = r_1, |PF_2| = r_2$，则 $r_1 + r_2 = 4$。
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理：
$|F_1F_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos 60°$
$12 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1 r_2 - 2r_1 r_2 \cdot \dfrac{1}{2}$
$12 = 16 - 3r_1 r_2$
$r_1 r_2 = \dfrac{4}{3}$
$$S = \frac{1}{2} r_1 r_2 \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
过椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的右焦点 $F$ 作直线交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值（$O$ 为原点）。
右焦点 $F(\sqrt{3}, 0)$。
设直线 $AB$：$x = my + \sqrt{3}$（避免斜率不存在的情况）。
联立：
$$\frac{(my+\sqrt{3})^2}{4} + y^2 = 1$$
$$(my+\sqrt{3})^2 + 4y^2 = 4$$
$$m^2y^2 + 2\sqrt{3}my + 3 + 4y^2 = 4$$
$$(m^2 + 4)y^2 + 2\sqrt{3}my - 1 = 0$$
$y_1 + y_2 = -\dfrac{2\sqrt{3}m}{m^2 + 4}$，$y_1 y_2 = -\dfrac{1}{m^2 + 4}$。
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1 y_2} = \sqrt{\dfrac{12m^2}{(m^2+4)^2} + \dfrac{4}{m^2+4}}$
$= \sqrt{\dfrac{12m^2 + 4m^2 + 16}{(m^2+4)^2}} = \dfrac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}$
$S = \dfrac{1}{2} |OF| \cdot |y_1 - y_2| = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4} = \dfrac{2\sqrt{3}\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}$
设 $t = \sqrt{m^2+1} \geq 1$，则 $m^2 = t^2 - 1$。
$S = \dfrac{2\sqrt{3}t}{t^2 + 3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{t + \frac{3}{t}}$
由均值不等式：$t + \dfrac{3}{t} \geq 2\sqrt{3}$（当 $t = \sqrt{3}$ 时取等）。
$S_{\max} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$。
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求直线 $AB$ 的方程。
抛物线 $y^2 = 4x$，$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$，准线 $x = -1$。
由抛物线的焦半径公式：$|AF| = x_A + 1$，$|BF| = x_B + 1$。
$|AF| + |BF| = x_A + x_B + 2 = 8$，故 $x_A + x_B = 6$。
若直线斜率不存在：$x = 1$，代入 $y^2 = 4$，$y = \pm 2$。
$|AF| + |BF| = 2 + 2 = 4 \neq 8$，不合题意。
若直线斜率存在：设 $y = k(x - 1)$。
代入 $y^2 = 4x$：$k^2(x-1)^2 = 4x$
$k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$
$x_A + x_B = \dfrac{2k^2 + 4}{k^2} = 6$
$2k^2 + 4 = 6k^2$
$4k^2 = 4$，$k^2 = 1$，$k = \pm 1$。
直线方程为 $y = x - 1$ 或 $y = -x + 1$。
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的一条渐近线为 $y = \sqrt{3}x$，且一个焦点为 $(4, 0)$，求双曲线方程和离心率。
渐近线 $y = \sqrt{3}x$，即 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3}a$。
焦点 $(4, 0)$，即 $c = 4$。
由 $c^2 = a^2 + b^2$：$16 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$。
$a^2 = 4$，$a = 2$。
$b^2 = 3a^2 = 12$。
双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{2} = 2$。
$a^2 = 16$，$b^2 = 7$，$c^2 = 9$，$c = 3$。
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{4}$。
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$c^2 = \dfrac{3}{4}a^2$，$b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{1}{4}a^2$。
代入 $(2, 1)$：$\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{4}{a^2} = 1$，$a^2 = 8$，$b^2 = 2$。
方程为 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1$。
由抛物线定义，$\dfrac{p}{2} = 2$，$p = 4$。
轨迹方程 $y^2 = 8x$。
$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。
渐近线 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$，$e = \dfrac{5}{3}$。
联立：$(2x+1)^2 = 8x$，$4x^2 - 4x + 1 = 0$。
$x_1 + x_2 = 1$，$x_1 x_2 = \dfrac{1}{4}$。
$|AB| = \sqrt{1 + 4} \cdot \sqrt{1 - 1} = 0$（相切）。
实际上 $\Delta = 16 - 16 = 0$，直线与抛物线相切，只有一个交点。
点差法：$\dfrac{x_1^2}{9} + \dfrac{y_1^2}{4} = 1$，$\dfrac{x_2^2}{9} + \dfrac{y_2^2}{4} = 1$。
相减：$\dfrac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{9} + \dfrac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4} = 0$。
$x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 2$。
$\dfrac{2(x_1-x_2)}{9} + \dfrac{2(y_1-y_2)}{4} = 0$。
$k = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\dfrac{4}{9}$。
直线方程：$y - 1 = -\dfrac{4}{9}(x - 1)$，即 $4x + 9y - 13 = 0$。
$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$。
$|PF_2| = 10 - 6 = 4$。
$p = 3$，焦点 $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$。
$|AB| = x_A + x_B + 3 = 12$。
$x_A + x_B = 9$。
| 题型 | 首选方法 | 备选方法 |
|---|---|---|
| 轨迹方程 | 定义法（满足定义条件时） | 待定系数法、相关点法 |
| 离心率 | 直接法（已知 $a, b, c$） | 方程法、不等式法 |
| 弦长 | 联立 + 韦达定理 | 焦点弦公式（抛物线） |
| 中点弦 | 点差法 | 联立 + 韦达定理 |
| 面积 | $S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d$ | 向量叉积、坐标公式 |