第14课：综合模拟训练

B

$k = \dfrac{6-2}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$

B

$l_1$ 的斜率 $k_1 = -2$，$l_2$ 的斜率 $k_2 = \dfrac{a}{2}$。

两直线垂直：$k_1 \cdot k_2 = -1$，即 $(-2) \cdot \dfrac{a}{2} = -1$，解得 $a = 1$。

A

圆的标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 中，圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$。

对比得圆心 $(1, -2)$，半径 $r = \sqrt{9} = 3$。

A

$a^2 = 25$，$b^2 = 9$，所以 $a = 5$，$b = 3$。

$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$，所以 $c = 4$。

A

抛物线 $y^2 = 2px$ 中，$2p = 8$，$p = 4$。

焦点坐标为 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (2, 0)$。

D

圆心 $O(0, 0)$ 到直线 $x - y + 1 = 0$ 的距离：

$d = \dfrac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

弦长 $= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{7}{2}} = \sqrt{14}$

B

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$。

这里 $a^2 = 4$，$b^2 = 9$，所以 $a = 2$，$b = 3$。

渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{3}{2}x$。

B

$a^2 = 16$，$b^2 = 9$，$c^2 = 16 - 9 = 7$。

$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 8$。

设 $|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，则 $r_1 + r_2 = 8$。

由余弦定理：$|F_1F_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos 60°$

$28 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 - r_1r_2 = 64 - 3r_1r_2$

$r_1r_2 = 12$

$S = \dfrac{1}{2}r_1r_2\sin 60° = \dfrac{1}{2} \times 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$d = \dfrac{|3 \times 1 - 4 \times (-1) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|3 + 4 + 2|}{5} = \dfrac{9}{5}$

外切

$C_1$ 的圆心 $O_1(0, 0)$，半径 $r_1 = 2$。

$C_2$ 的圆心 $O_2(3, 4)$，半径 $r_2 = 5$。

圆心距 $|O_1O_2| = \sqrt{9 + 16} = 5$。

$r_1 + r_2 = 2 + 5 = 7$，$|r_2 - r_1| = 5 - 2 = 3$。

因为 $|O_1O_2| = r_2 - r_1 = 3$？不对，$|O_1O_2| = 5$。

实际上 $|O_1O_2| = 5 = r_2$，所以 $C_1$ 在 $C_2$ 内部，且 $|O_1O_2| + r_1 = 5 + 2 = 7 > r_2 = 5$。

重新计算：$|O_1O_2| = 5$，$r_1 + r_2 = 7$，$|r_2 - r_1| = 3$。

因为 $3 < 5 < 7$，即 $|r_2 - r_1| < |O_1O_2| < r_1 + r_2$，所以两圆相交。

$2b = 2c$，即 $b = c$。

由 $a^2 = b^2 + c^2 = 2c^2$，得 $a = \sqrt{2}c$。

$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{\sqrt{2}c} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$，准线 $x = -1$。

由焦半径公式：$|AF| = x_A + 1 = 3$，所以 $x_A = 2$。

代入 $y^2 = 4x$：$y_A^2 = 8$，$y_A = \pm 2\sqrt{2}$。

设直线 $AB$：$y = k(x - 1)$，代入 $y^2 = 4x$：

$k^2(x-1)^2 = 4x$，$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$

$x_A \cdot x_B = 1$，所以 $x_B = \dfrac{1}{2}$。

$|BF| = x_B + 1 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$

（1）配方：

$x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0$

$(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 = 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$

圆心 $C(1, 2)$，半径 $r = \sqrt{5}$。

（2）计算 $|PC|$：

$|PC| = \sqrt{(4-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

因为 $|PC| = \sqrt{10} > \sqrt{5} = r$，所以点 $P$ 在圆外。

（3）设切线方程为 $y - 3 = k(x - 4)$，即 $kx - y + 3 - 4k = 0$。

圆心到切线的距离等于半径：

$\dfrac{|k \cdot 1 - 2 + 3 - 4k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$\dfrac{|1 - 3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$(1 - 3k)^2 = 5(k^2 + 1)$

$1 - 6k + 9k^2 = 5k^2 + 5$

$4k^2 - 6k - 4 = 0$

$2k^2 - 3k - 2 = 0$

$(2k + 1)(k - 2) = 0$

$k = -\dfrac{1}{2}$ 或 $k = 2$

切线方程为 $y - 3 = -\dfrac{1}{2}(x - 4)$ 或 $y - 3 = 2(x - 4)$。

即 $x + 2y - 10 = 0$ 或 $2x - y - 5 = 0$。

（1）$b = 1$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

由 $c^2 = a^2 - b^2$：$\dfrac{3}{4}a^2 = a^2 - 1$，$\dfrac{1}{4}a^2 = 1$，$a^2 = 4$。

椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$。

（2）$a = 2$，$b = 1$，$c = \sqrt{3}$。

焦点坐标：$F_1(-\sqrt{3}, 0)$，$F_2(\sqrt{3}, 0)$。

顶点坐标：$(\pm 2, 0)$，$(0, \pm 1)$。

（3）设 $|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，则 $r_1 + r_2 = 2a = 4$。

由均值不等式：$r_1r_2 \leq \left(\dfrac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = 4$。

当 $r_1 = r_2 = 2$ 时取等号。

所以 $|PF_1| \cdot |PF_2|$ 的最大值为 $4$。

（1）联立：

$\dfrac{x^2}{4} + (x+m)^2 = 1$

$x^2 + 4(x+m)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 8mx + 4m^2 = 4$

$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$

要有两个不同交点，需 $\Delta > 0$：

$\Delta = 64m^2 - 20(4m^2 - 4) = 64m^2 - 80m^2 + 80 = -16m^2 + 80 > 0$

$m^2 < 5$，即 $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$。

（2）当 $m = 1$ 时：

$5x^2 + 8x = 0$

$x(5x + 8) = 0$

$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{8}{5}$。

$y_1 = 1$，$y_2 = -\dfrac{8}{5} + 1 = -\dfrac{3}{5}$。

$|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2 + \left(1 + \dfrac{3}{5}\right)^2}$

$= \sqrt{\dfrac{64}{25} + \dfrac{64}{25}} = \sqrt{\dfrac{128}{25}} = \dfrac{8\sqrt{2}}{5}$

（1）$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$。

直线 $l$：$y = x - 1$。

联立：$(x-1)^2 = 4x$，$x^2 - 6x + 1 = 0$。

$x_1 + x_2 = 6$。

$|AB| = x_1 + x_2 + p = 6 + 2 = 8$。

（2）设直线 $l$：$x = ty + 1$（避免斜率不存在的情况）。

联立：$y^2 = 4(ty + 1)$，$y^2 - 4ty - 4 = 0$。

$y_1 + y_2 = 4t$，$y_1y_2 = -4$。

$x_1 = ty_1 + 1$，$x_2 = ty_2 + 1$。

由焦半径公式：$|AF| = x_1 + 1 = ty_1 + 2$，$|BF| = x_2 + 1 = ty_2 + 2$。

$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{1}{ty_1 + 2} + \dfrac{1}{ty_2 + 2}$

$= \dfrac{ty_1 + 2 + ty_2 + 2}{(ty_1 + 2)(ty_2 + 2)}$

$= \dfrac{t(y_1 + y_2) + 4}{t^2y_1y_2 + 2t(y_1 + y_2) + 4}$

$= \dfrac{4t^2 + 4}{-4t^2 + 8t^2 + 4} = \dfrac{4t^2 + 4}{4t^2 + 4} = 1$

所以 $\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = 1$（定值）。