第 1 课：因式分解进阶

初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块
📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐ 中等难度

一、知识梳理

1. 初中回顾

方法公式示例
提公因式法ma + mb + mc = m(a + b + c)6x² + 9x = 3x(2x + 3)
平方差公式a² − b² = (a + b)(a − b)x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
完全平方公式a² ± 2ab + b² = (a ± b)²x² + 6x + 9 = (x + 3)²
⚠️ 初中间隔：苏科版七下仅教学上述两个公式，不涉及立方和差公式、三数和平方公式。

2. 高中升级内容

（1）十字相乘法（二次项系数 ≠ 1）

ax² + bx + c = (px + r)(qx + s)

p × q = a，r × s = c，交叉相乘 ps + qr = b

（2）分组分解法

项数常用分组
四项式2+2 或 3+1
五项式3+2
六项式3+3 或 2+2+2

（3）高次多项式因式分解

试根法（有理根定理）：对于整系数多项式 f(x)，若有理根 p/q（p、q 互质），则 p 整除常数项，q 整除首项系数。找到一根 x = a 后，综合除法除以 (x − a)，降次后继续分解。

（4）含参因式分解

主元法：选定一个字母为主元，其余字母看作常数，按主元降幂排列后分解。

待定系数法：假设分解形式，比较系数确定未知参数。

二、典例精讲

【例 1】十字相乘法

  1. 6x² − 13x + 6
  2. 12x² + x − 6
  3. x² + (m + 2)x + 2m

【例 2】分组分解法

  1. x³ − x² + x − 1
  2. ab + ac + bd + cd
  3. x⁴ + x² + 1

【例 3】高次多项式因式分解

  1. x³ − 3x² + 3x − 1
  2. x³ − 6x² + 11x − 6
  3. 2x⁴ − x³ − 6x² − x + 2

【例 4】含参因式分解

  1. x² − (m + 3)x + 2m + 2
  2. a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² + 2abc

三、举一反三

针对例 1（十字相乘法）

  1. 15x² + 14x − 8
  2. 3x² − (2m + 1)x + 2m

针对例 2（分组分解法）

  1. x³ + 2x² − x − 2
  2. a³ + b³ + c³ − 3abc

针对例 3（高次多项式）

  1. x³ + 2x² − 5x − 6
  2. x⁴ + 4

针对例 4（含参因式分解）

  1. x² + (2m − 1)x + m² − m
  2. x²y + y²z + z²x + xy² + yz² + zx² + 2xyz

四、课后作业

A 组 · 基础题（8 题）
  1. 分解因式：3x² + 5x − 2
  2. 分解因式：4x² − 12x + 9
  3. 分解因式：2x² − 7x + 3
  4. 分解因式：6x² + 7x − 3
  5. 分解因式：x³ + 3x² + 3x + 1
  6. 分解因式：ab − a + b − 1
  7. 分解因式：x² − y² + 2y − 1
  8. 分解因式：x³ − 4x
B 组 · 提高题（4 题）
  1. 分解因式：x³ − 3x − 2
  2. 分解因式：x⁴ + 4x² + 3
  3. 分解因式：x² + (m + 1)x + m
  4. 分解因式：a²(b − c) + b²(c − a) + c²(a − b)
C 组 · 挑战题（3 题）
  1. 分解因式：x⁴ + x³ + x² + x + 1
  2. 分解因式：x³ + y³ + z³ − 3xyz
  3. 分解因式：2x⁴ − 3x³ + x² + 3x − 3

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