第 1 课：因式分解进阶 教师版
初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块
📚 重点高中准高一
⏱ 90 分钟
⭐⭐⭐ 中等难度
一、知识梳理
1. 初中回顾
| 方法 | 公式 | 示例 |
|---|
| 提公因式法 | ma+mb+mc=m(a+b+c) | 6x²+9x=3x(2x+3) |
| 平方差公式 | a²−b²=(a+b)(a−b) | x²−9=(x+3)(x−3) |
| 完全平方公式 | a²±2ab+b²=(a±b)² | x²+6x+9=(x+3)² |
⚠️ 初中间隔：苏科版七下仅教学上述两个公式，不涉及立方和差公式、三数和平方公式。
2. 高中升级内容
（1）十字相乘法（二次项系数 ≠ 1）
ax²+bx+c=(px+r)(qx+s)
p×q=a，r×s=c，交叉相乘 ps+qr=b
（2）分组分解法
| 项数 | 常用分组 |
|---|
| 四项式 | 2+2 或 3+1 |
| 五项式 | 3+2 |
| 六项式 | 3+3 或 2+2+2 |
（3）高次多项式因式分解
试根法（有理根定理）：对于整系数多项式 f(x)，若有理根 p/q（p、q 互质），则 p 整除常数项，q 整除首项系数。找到一根 x=a 后，综合除法除以 (x−a)，降次后继续分解。
（4）含参因式分解
主元法：选定一个字母为主元，其余字母看作常数，按主元降幂排列后分解。
待定系数法：假设分解形式，比较系数确定未知参数。
二、典例精讲
【例 1】十字相乘法
【1】6x² − 13x + 6
a=6=2×3, c=6=(−2)×(−3)，检验：2×(−2)+3×(−3)=−13 ✓
(2x−3)(3x−2)
【2】12x² + x − 6
a=12=4×3, c=−6=(−2)×3，检验：4×(−2)+3×3=1 ✓
(4x−3)(3x+2)
【3】x² + (m+2)x + 2m
十字交叉：1×2+1×m=m+2 ✓
(x+2)(x+m)
【例 2】分组分解法
【1】x³ − x² + x − 1
2+2 分组：(x³−x²)+(x−1)=x²(x−1)+(x−1)
(x−1)(x²+1)
【2】ab + ac + bd + cd
2+2 分组：(ab+ac)+(bd+cd)=a(b+c)+d(b+c)
(a+d)(b+c)
【3】x⁴ + x² + 1
添项法：x⁴+2x²+1−x²=(x²+1)²−x²
(x²+x+1)(x²−x+1)
【例 3】高次多项式因式分解
【1】x³ − 3x² + 3x − 1
系数 1,−3,3,−1 为 (x−1)³ 的展开系数
(x−1)³
【2】x³ − 6x² + 11x − 6
试根 x=1，f(1)=0，综合除法商 x²−5x+6=(x−2)(x−3)
(x−1)(x−2)(x−3)
【3】2x⁴ − x³ − 6x² − x + 2
倒数多项式，换元 t=x+1/x
(2x−1)(x−2)(x+1)²
【例 4】含参因式分解
【1】x² − (m+3)x + 2m + 2
2m+2=2(m+1)，交叉和：1×(−2)+1×[−(m+1)]=−(m+3) ✓
(x−2)(x−m−1)
【2】a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² + 2abc
展开 (a+b)(b+c)(c+a) 恰好等于原式
(a+b)(b+c)(c+a)
三、举一反三
针对例 1
【1】(3x+4)(5x−2) 【2】(x−1)(3x−2m)
针对例 2
【1】(x−1)(x+1)(x+2) 【2】(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
针对例 3
【1】(x+1)(x−2)(x+3) 【2】(x²+2x+2)(x²−2x+2)
针对例 4
【1】(x+m)(x+m−1) 【2】(x+y)(y+z)(z+x)
四、课后作业 · 答案与解析
A 组 · 基础题
1. (3x−1)(x+2) 2. (2x−3)² 3. (x−3)(2x−1) 4. (2x+3)(3x−1)
5. (x+1)³ 6. (a+1)(b−1) 7. (x+y−1)(x−y+1) 8. x(x+2)(x−2)
B 组 · 提高题
9. (x+1)²(x−2) 10. (x²+1)(x²+3) 11. (x+1)(x+m) 12. −(a−b)(b−c)(c−a)
C 组 · 挑战题
13. 在有理数范围内不可分解 14. (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx) 15. (x−1)(x+1)(2x²−3x+3)