第 2 课：乘法公式拓展 教师版
初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块
📚 重点高中准高一
⏱ 90 分钟
⭐⭐⭐ 中等难度
一、知识梳理
1. 初中回顾
| 公式 | 表达式 | 文字描述 |
|---|
| 平方差 | (a+b)(a−b)=a²−b² | 两数和 × 两数差 = 平方差 |
| 完全平方 | (a±b)²=a²±2ab+b² | 两数和（差）的平方 |
⚠️ 初中间隔：苏科版七下仅教学平方差和完全平方公式，不涉及立方和差公式、三数和平方公式。
2. 高中升级内容
（1）立方和公式
a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)
口诀："和 ×（平方和 − 积）= 立方和"
（2）立方差公式
a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)
口诀："差 ×（平方和 + 积）= 立方差"
⚠️ 易错提醒：立方和中间是 减号，立方差中间是 加号 —— 符号相反！
（3）三数和平方公式
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
三个数的平方和 + 两两乘积的 2 倍
（4）常见恒等变形
| 变形 | 公式 | 用途 |
|---|
| 平方和转和积 | a²+b²=(a+b)²−2ab | 已知和与积，求平方和 |
| 和差求积 | (a+b)²−(a−b)²=4ab | 已知和与差，求积 |
| 三数平方和 | a²+b²+c²=(a+b+c)²−2(ab+bc+ca) | 三数条件求值 |
| 对称非负式 | a²+b²+c²−ab−bc−ca=½[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²] | 不等式、最值 |
| 立方和变形 | a³+b³=(a+b)³−3ab(a+b) | 整体代换求值 |
二、典例精讲
【例 1】立方和/差公式的直接运用
【1】(x+2)(x²−2x+4)
a=x, b=2
x³+8
【2】(2x−1)(4x²+2x+1)
a=2x, b=1
8x³−1
【3】(a+3b)(a²−3ab+9b²)
a³+27b³
【例 2】因式分解（立方和/差）
【1】27x³+8
(3x+2)(9x²−6x+4)
【3】a⁶−b⁶
方法一（推荐）：先平方差，再立方差
(a+b)(a²−ab+b²)(a−b)(a²+ab+b²)
【例 3】三数和平方公式
【1】(x+2y−3z)²
x²+4y²+9z²+4xy−12yz−6xz
【2】(2a−b+c)²
4a²+b²+c²−4ab−2bc+4ac
【例 4】恒等变形 —— 条件求值
【1】a+b=5, ab=6，求 a²+b²
25−12=13
【2】x+1/x=3，求 x²+1/x²
9−2=7
【3】a−b=3, ab=2，求 a²+b²
9+4=13
【例 5】综合应用
【1】a+b+c=6, ab+bc+ca=11，求 a²+b²+c²
36−22=14
【2】a+b+c=0, abc=1，求 a³+b³+c³
a³+b³+c³=3abc=3
【3】(x+1)(x−1)(x²+x+1)(x²−x+1)
交叉组合：(x+1)(x²−x+1)=x³+1，(x−1)(x²+x+1)=x³−1
(x³+1)(x³−1)=x⁶−1
三、举一反三
针对例 1
针对例 2
【1】(2x+3)(4x²−6x+9) 【2】(x²+4)(x⁴−4x²+16)
针对例 3
【1】4x²+y²+9z²−4xy+12xz−6yz 【2】a²+4b²+c²−4ab+2ac−4bc
针对例 4
针对例 5
【1】ab+bc+ca=3 【2】a³+b³=28
四、课后作业 · 答案与解析
A 组 · 基础题
1. x³+1 2. 8x³−27 3. (x+4)(x²−4x+16) 4. (2a−3b)(4a²+6ab+9b²)
5. x²+y²+4z²+2xy+4yz+4xz 6. 4a²+b²+1−4ab−2b+4a 7. 12 8. 23
B 组 · 提高题
9. 11 10. a⁶−1 11. (x−1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1) 12. 35
C 组 · 挑战题
13. ½ 14. 1/3（a=b=c=1/3 时取得） 15. −(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)