第 3 课：二次根式与分式
初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块
📚 重点高中准高一
⏱ 90 分钟
⭐⭐ 难度
一、知识梳理
1. 初中回顾
你在初中（苏科版八下）已经学习了：
| 内容 | 知识点 | 备注 |
|---|
| 二次根式（第12章） | 定义、性质、乘除、加减、最简根式 | 运算难度为基础水平 |
| 分式（第10章） | 概念、性质、四则运算、分式方程 | 常规运算已覆盖 |
⚠️ 初中不足：初中对分母有理化仅涉及简单情况，不涉及分子有理化、双重根号化简、繁分式化简等内容，这些在高中频繁使用。
2. 分母有理化
核心思想：利用平方差公式，将分母中的根号去掉。
单项根式型：
A / √b = A√b / b
共轭根式型：
A / (√a ± √b) = A(√a ∓ √b) / (a − b)
三项根式型：分组后两次有理化
3. 分子有理化
将分子中的根号去掉，高中求极限、比较大小经常用到。
√a − √b = (a − b) / (√a + √b)
4. 双重根号化简
若 a > 0, b > 0，则：
√(a ± 2√b) = √x ± √y
其中 x + y = a，xy = b，且 x > y > 0
推导思路：设 √(a + 2√b) = √x + √y，两边平方后比较系数。
💡 提示：若根号内是 √(a ± k√b)（k ≠ 2），先变形为 √(a ± 2√(k²b/4))。
5. 繁分式化简
方法一：从内向外逐层化简
方法二：分子分母同乘最简公分母
6. 分式拆分（部分分式分解预备）
(px + q) / ((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b)
求解方法：待定系数法或赋值法（令 x = a 或 x = b 直接求解）
7. 代数式整体代换
已知 x + 1/x = a，则：
x² + 1/x² = a² − 2
x³ + 1/x³ = a³ − 3a
x⁴ + 1/x⁴ = (a² − 2)² − 2
8. 分离常数法
(ax + b)/(cx + d) = a/c + (bc − ad) / [c(cx + d)]
常用于求函数值域
二、典例精讲
【例 1】双重根号化简
题目：化简 √(8 − 4√3)
思路：先变形为标准型 √(a ± 2√b)，再套用公式。
√(8 − 4√3) = √(8 − 2√12)
找 x + y = 8，xy = 12，解得 x = 6，y = 2
√(8 − 4√3) = √6 − √2
检验：(√6 − √2)² = 6 + 2 − 2√12 = 8 − 4√3 ✓
💡 方法总结：双重根号化简的关键是配成 a ± 2√b 的形式，然后找两个数使其和为 a、积为 b。
举一反三
- 1.1 化简：√(5 + 2√6) → 答案：√3 + √2
- 1.2 化简：√(7 − 2√10) → 答案：√5 − √2
【例 2】分母有理化（共轭型综合）
题目：化简 2/(√5 + √3) + 3/(√5 − √2)
第一项：2/(√5 + √3) = 2(√5 − √3)/(5−3) = √5 − √3
第二项：3/(√5 − √2) = 3(√5 + √2)/(5−2) = √5 + √2
原式 = 2√5 − √3 + √2
举一反三
- 2.1 化简：1/(√3+√2) + 1/(√2+1) → 答案：√3 − 1
- 2.2 计算：1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + ⋯ + 1/(√100+√99) → 答案：9
【例 3】繁分式化简
题目：化简 x / (x − x/(x + 1))
先化简分母：x − x/(x+1) = [x(x+1)−x]/(x+1) = x²/(x+1)
x / [x²/(x+1)] = x(x+1)/x² = (x+1)/x = 1 + 1/x
举一反三
- 3.1 化简：1/(1+1/(1+1/x)) → 答案：(x+1)/(2x+1)
- 3.2 化简：(a+1/b)/(b+1/a) → 答案：a/b
【例 4】分式拆分（待定系数法）
题目：将 (3x−1)/((x+1)(x−2)) 拆分为 A/(x+1) + B/(x−2)，求 A, B
(3x−1)/((x+1)(x−2)) = [A(x−2)+B(x+1)]/((x+1)(x−2))
令 x = −1：A(−3) = −4 ⇒ A = 4/3
令 x = 2：B(3) = 5 ⇒ B = 5/3
(3x−1)/((x+1)(x−2)) = (4/3)/(x+1) + (5/3)/(x−2)
举一反三
- 4.1 (2x+3)/((x−1)(x+3)) 拆分 → A=5/4, B=3/4
- 4.2 1/(x(x+1)) + 1/((x+1)(x+2)) + 1/((x+2)(x+3)) → 答案：3/[x(x+3)]
【例 5】代数式整体代换
题目：已知 x + 1/x = 4，求 x² + 1/x² 和 x³ + 1/x³
x² + 1/x² = 4² − 2 = 14
x³ + 1/x³ = 4³ − 3×4 = 64 − 12 = 52
举一反三
- 5.1 x+1/x=3，求 x⁴+1/x⁴ → 答案：47
- 5.2 x−1/x=2，求 x²+1/x² 和 x³−1/x³ → 答案：6 和 14
三、课后作业（20 题）
A 组 · 基础题（8 题）
- 分母有理化：5/√7
- 分母有理化：3/(√5 − √2)
- 化简：√12 + √27 − √75
- 化简：√(4 + 2√3)
- 化简繁分式：2/(1 − 1/3)
- 分式运算：(x²−1)/(x+1) ÷ (x−1)/x
- 计算：1/(√5+2) − 1/(√5−2)
- 已知 x+1/x=5，求 x²+1/x²
B 组 · 提高题（7 题）
- 化简：√(11 − 6√2)
- 化简：(√3+√2)/(√3−√2) + (√3−√2)/(√3+√2)
- 计算：1/(√3+√2) + 1/(√2+1) + 1/(√5+√3)
- 化简：(x+1/x)/(x−1/x)
- 已知 x+1/x=3，求 x³+1/x³ 和 x⁴+1/x⁴
- 将 (5x−2)/((x+2)(x−3)) 拆分为 A/(x+2) + B/(x−3)
- 化简：1/(1+1/(1+1/(1+1/x)))
C 组 · 挑战题（5 题）
- 比较大小：√10−√7 与 √7−√4（用两种方法）
- 化简：√(7+4√3) + √(7−4√3)
- 已知 x+1/x=√5，求 x¹⁰+1/x¹⁰
- 计算：∑(k=1→99) 1/((k+1)√k + k√(k+1))
- 已知 1/x+1/y=3, 1/y+1/z=5, 1/z+1/x=7，求 xyz/(xy+yz+zx)