核心思想：将代数式配成完全平方式的和，利用「完全平方非负」的性质解决问题。
含参配方： x² + 2ax + b = (x + a)² + (b − a²)
双变量配方： 分别对每个变量配成完全平方
三大应用：求最值 · 比较大小 · 解方程
核心思想：将复杂表达式用新变量代替，化繁为简、化高为低。
三原则：简化目标 · 等价性（注意范围）· 回代
常见类型：代数换元（t=x² 降次）· 整体代换 · 三角换元
核心思想：先假设表达式形式（含未知系数），再对比系数或特殊值求解。
三步骤：设 → 列（对比系数）→ 解
核心思想：按一定标准分类，逐类求解后综合。
三原则：标准明确 · 不重不漏 · 逐类求解
常见场景：零点分段法 · 含参方程 · 含参不等式
以下知识在初中新课标中被删除或弱化，高中仍然需要。以「知识卡片」形式呈现。
| 心 | 定义 | 关键性质 |
|---|---|---|
| 重心 G | 三条中线交点 | 到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍 |
| 外心 O | 三边垂直平分线交点 | 到三顶点距离相等 |
| 内心 I | 三条角平分线交点 | 到三边距离相等 |
| 垂心 H | 三条高线交点 | 三条高线共点 |
欧拉线：O、G、H 三点共线，OG:GH = 1:2
Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D：
| 定理 | 公式 |
|---|---|
| 相交弦定理 | PA·PB = PC·PD |
| 切割线定理 | PT² = PA·PB |
| 割线定理 | PA·PB = PC·PD |
DE ∥ BC → AD/DB = AE/EC，AD/AB = DE/BC
题目：求 x² − 6x + 13 的最小值
x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4 ≥ 4
当 x = 3 时取等号，最小值为 4
题目：比较 a²−4a+7 与 2a−1 的大小
作差：(a−3)²−1
题目：求 x²+y²−4x+6y+15 的最小值
= (x−2)²+(y+3)²+2 ≥ 2
x=2, y=−3 时取等号，最小值 2
题目：x⁴−3x²−4=0
令 t=x²（t≥0）：t²−3t−4=0 → t=4
x=±2
题目：(x²+x+1)(x²+x+2)−12
令 y=x²+x：(y+1)(y+2)−12 = (y+5)(y−2)
(x²+x+5)(x+2)(x−1)
题目：x⁴+x²+1
设 (x²+ax+1)(x²−ax+1)：2−a²=1 → a=±1
(x²+x+1)(x²−x+1)
题目：|x−1|+|x+2|=5
分三段：x<−2 → x=−3 ✓；−2≤x<1 → 无解；x≥1 → x=2 ✓
x=−3 或 2
题目：ax²−2x+1=0 有实数根，求 a 的范围
a=0 ✓；a≠0 需 Δ≥0 → a≤1
a≤1