第 5 课：二次函数深度复习

初升高数学衔接课程 · 二次函数深化模块 · 教师版

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 三种解析式

形式	关键信息
一般式 y=ax²+bx+c	对称轴 x=-b/(2a)
顶点式 y=a(x-h)²+k	顶点 (h,k)
交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)	与 x 轴交点（需 Δ>0）

2. 图像变换

平移：上加下减常数项，左加右减自变量

翻折：关于 x 轴 (a,k 变号) · 关于 y 轴 (h 变号) · 关于原点 (全部变号)

3. 闭区间最值 ⭐

核心：对称轴 vs 区间位置 → 分三类讨论

二、典例精讲（含答案）

【例 1】互化

【解答】

y=2(x-1)²+3，Δ<0 无交点式

1.1 y=-3x²-6x+3
1.2 y=x²-4x+1

【例 2】平移

【解答】

y=2(x+1)²-6，顶点 (-1,-6)

2.1 y=x²
2.2 (3,-2)

【例 3】翻折

【解答】

关于 x 轴：y=-2(x-1)²+5；关于 y 轴：y=2(x+1)²-5

3.1 y=x²+2x-3
3.2 分段函数

【例 4】定轴定区间

【解答】

x=1∈[-2,2] → 最小值 -4，最大值 5

4.1 最大值 5，最小值 -4
4.2 值域 [-3,15]

【例 5】定轴动区间

【解答】

t<-1：t²+2t-3；-1≤t≤1：-4；t>1：t²-2t-3

5.1 a≤-1/2：a²+1；a>-1/2：a²+2a+2

【例 6】动轴定区间 ⭐

【解答】

a<0：-1；0≤a≤2：-1-a²；a>2：3-4a

6.1 a<-1：3-2a；-1≤a≤1：2-a²；a>1：3+2a
6.2 a<0：2a；0≤a≤1：1+a²；a>1：1

三、课后作业（含答案）

A 组 · 基础题

(1,4)，x=1
-x²-6x-5
y=-x²-2x+1
y=(x+1)²+3
y=-x²+4x-3
最大值 1，最小值 -3
最大值 6，最小值 -3
x=-1，顶点 (-1,-3)

B 组 · 提高题

t<2：t²-4t；2≤t≤3：-4；t>3：t²-6t+5
[-1, 3]
a<0：3；0≤a≤2：3-a²；a>2：7-4a
5
y=-x²+6x-5
a<-1：-2a；-1≤a≤1：1+a²；a>1：2a
a=2, b=-4, c=1

C 组 · 挑战题

3-a²（对称轴恰为左端点，递增）
最小值：a>5：27-10a；-5≤a≤5：2-a²；a<-5：27+10a
最大值：a≥0：27+10a；a<0：27-10a
不存在（f(x)≥-4 恒成立）
t≤0：t²-2t+3；t>0：t²+2t+3
2 ≤ a < 18/7