√(ab) ≤ (a + b) / 2（a ≥ 0，b ≥ 0）
等号当且仅当 a = b 时成立。
| 条件 | 含义 |
|---|---|
| 一正 | 变量为正数（使用前提） |
| 二定 | 和或积为定值（使用条件） |
| 三相等 | 等号能取到（取最值的保证） |
a + b ≥ 2√(ab)（积定和最小）| ab ≤ ((a+b)/2)²（和定积最大）
a + 1/a ≥ 2（a > 0）| a/b + b/a ≥ 2（a, b > 0）
（1）已知 x > 0，求 x + 1/x 的最小值。
x + 1/x ≥ 2√(x·1/x) = 2。等号当 x = 1 时成立。
最小值为 2
（2）已知 0 < x < 1，求 x(1 − x) 的最大值。
x(1−x) ≤ ((x+(1−x))/2)² = (1/2)² = 1/4。等号当 x = 1/2 时成立。
最大值为 1/4
举一反三：1.1 已知 x > 0，求 2x + 8/x 的最小值。
2x+8/x ≥ 2√(2x·8/x) = 2√16 = 8。等号当 x = 2 时成立。
最小值为 8
（1）求 x + 1/x 的最小值，得 2。（2）求 x² + 1/x² 的最小值，得 2。
（1）不正确。未给出 x > 0。若 x < 0，x + 1/x ≤ −2。
（2）正确。x² > 0，1/x² > 0，积为定值 1，等号 x = ±1 时成立。
举一反三：2.1 已知 x > 2，求 x + 1/(x − 2) 的最小值。
x + 1/(x−2) = (x−2) + 1/(x−2) + 2 ≥ 2+2 = 4。等号当 x = 3 时成立。
最小值为 4
已知 a > 0，b > 0，a + b = 1，求 1/a + 4/b 的最小值。
"1 的代换"：(1/a+4/b)(a+b) = 5+b/a+4a/b ≥ 5+4 = 9。
等号当 b = 2a，a = 1/3，b = 2/3 时成立。
最小值为 9
举一反三：3.1 已知 a > 0，b > 0，a + 2b = 2，求 1/a + 1/b 的最小值。
(1/a+1/b)(a+2b) = 3+2b/a+a/b ≥ 3+2√2。
1/a+1/b ≥ (3+2√2)/2。
最小值为 (3+2√2)/2
已知 a > 0，b > 0，2a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。
(1/a+1/b)(2a+b) = 3+b/a+2a/b ≥ 3+2√2。
最小值为 3+2√2
举一反三：4.1 已知 a > 0，b > 0，a + b = 1，求 4/a + 1/b 的最小值。
(4/a+1/b)(a+b) = 5+4b/a+a/b ≥ 5+4 = 9。a = 2/3，b = 1/3 时等号成立。
最小值为 9
（1）已知 x > 0，y > 0，x + y = 2，求 1/x + 1/y 的最小值。
1/x+1/y = 2/(xy)。由 √(xy) ≤ 1，xy ≤ 1，2/(xy) ≥ 2。
最小值为 2
（2）已知 x > 1，求 (x² + 3)/(x − 1) 的最小值。
(x²+3)/(x−1) = (x−1)+4/(x−1)+2 ≥ 2√4+2 = 6。x = 3 时等号成立。
最小值为 6
举一反三：5.1 已知 x > 1，求 (x² − x + 4)/(x − 1) 的最小值。
(x²−x+4)/(x−1) = x+4/(x−1) = (x−1)+4/(x−1)+1 ≥ 2√4+1 = 5。x = 3 时等号成立。
最小值为 5
x+4/x ≥ 2√4 = 4，x = 2 时等号成立。
最小值为 4
x(6−x) ≤ (6/2)² = 9，x = 3 时等号成立。
最大值为 9
1/x+1/y = 4/(xy)。√(xy) ≤ 2，xy ≤ 4。4/(xy) ≥ 1。x = y = 2 时等号成立。
最小值为 1
x+1/(x−3) = (x−3)+1/(x−3)+3 ≥ 2+3 = 5。x = 4 时等号成立。
最小值为 5
x²+4/x² ≥ 2√4 = 4。x²+2+4/x² ≥ 6。x = √2 时等号成立。
最小值为 6
a+b ≥ 2√(ab) = 2√4 = 4。a = b = 2 时等号成立。
最小值为 4
(x²+1)/x = x+1/x ≥ 2。x = 1 时等号成立。
最小值为 2
x < 0，设 t = −x > 0。x+1/x = −(t+1/t) ≤ −2。x = −1 时等号成立。
最大值为 −2
(1/a+9/b)(a+b) = 10+b/a+9a/b ≥ 10+6 = 16。b = 3a，a = 1/4，b = 3/4 时等号成立。
最小值为 16
(1/a+1/b)(a+3b) = 4+3b/a+a/b ≥ 4+2√3。
最小值为 4+2√3
(x²+5)/(x−1) = (x−1)+6/(x−1)+2 ≥ 2√6+2。x = 1+√6 时等号成立。
最小值为 2√6+2
b = 2−2a，a+1/b = a+1/[2(1−a)]。令 t = 1−a，= 1−t+1/(2t)。
当 t = 1/√2 时取最小值，a = 1−1/√2，b = √2。
最小值为 1
此题用纯基本不等式较难处理，可用导数或换元法。
(a+1/a)(b+1/b) = ab+1/ab+a/b+b/a。ab ≤ 1/4，ab+1/ab ≥ 17/4。a/b+b/a ≥ 2。
≥ 17/4+2 = 25/4。a = b = 1/2 时等号成立。
最小值为 25/4
(x+1/x)(y+1/y) = xy+1/xy+x/y+y/x。xy ≤ 1/4，xy+1/xy ≥ 17/4。x/y+y/x ≥ 2。
≥ 17/4+2 = 25/4。x = y = 1/2 时等号成立。
最小值为 25/4
(a+1/a)²+(b+1/b)² = a²+b²+1/a²+1/b²+4 = 5−2ab−2/(ab)+1/(ab)²。
设 t = ab（0 < t ≤ 1/4）。f(t) = 5−2t−2/t+1/t²。f(1/4) = 25/2。
(a+1/a)²+(b+1/b)² ≥ 25/2