单调递增：∀ x₁ < x₂ ∈ I，f(x₁) < f(x₂)
单调递减：∀ x₁ < x₂ ∈ I，f(x₁) > f(x₂)
定义法四步：任取 → 作差 → 变形 → 判断
| 类型 | 条件 | 图象 |
|---|---|---|
| 偶函数 | f(−x) = f(x) | 关于 y 轴对称 |
| 奇函数 | f(−x) = −f(x) | 关于原点对称 |
⚠️ 定义域关于原点对称；奇函数 f(0)=0（若有定义）。
| 函数 | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|
| y = x | R 上 ↗ | 奇 |
| y = x² | (−∞,0] ↘，[0,+∞) ↗ | 偶 |
| y = x³ | R 上 ↗ | 奇 |
| y = 1/x | (−∞,0) ↘，(0,+∞) ↘ | 奇 |
| y = √x | [0,+∞) 上 ↗ | 非奇非偶 |
（1）f(x) = 2x+1 在 R 上单调递增。
任取 x₁ < x₂。f(x₁)−f(x₂) = 2(x₁−x₂) < 0。f(x₁) < f(x₂)。
单调递增
（2）f(x) = 1/x 在 (0,+∞) 上单调递减。
f(x₁)−f(x₂) = (x₂−x₁)/(x₁x₂)。分子 > 0，分母 > 0。差式 > 0。f(x₁) > f(x₂)。
单调递减
（1）f(x) = x²−4x+3（2）f(x) = |x−1|
（1）f(x) = (x−2)²−1，顶点 x=2。开口向上。
(−∞,2] ↘，[2,+∞) ↗
（2）f(x) = { 1−x (x<1); x−1 (x≥1) }。
(−∞,1] ↘，[1,+∞) ↗
（1）f(x)=x³+x（2）f(x)=x²+1（3）f(x)=x³+x²（4）f(x)=x²，x∈[−1,2]
（1）f(−x) = −f(x)。奇函数。
（2）f(−x) = f(x)。偶函数。
（3）f(−x) = −x³+x²，非奇非偶。
（4）定义域 [−1,2] 不关于原点对称。非奇非偶。
（1）f(x) 是奇函数，f(2)=5，求 f(−2)。
f(−2) = −f(2) = −5
（2）f(x) 是偶函数，在 (−∞,0] 上单调递减，比较 f(−3) 与 f(2)。
f(−3) = f(3)。偶函数在对称区间单调性相反 → [0,+∞) 上单调递增。3 > 2 → f(3) > f(2)。
f(−3) > f(2)
（1）1.5³ 与 1.7³（2）0.8⁻¹ 与 1.2⁻¹（3）(−2.5)^{2/3} 与 (−3.1)^{2/3}
（1）y=x³ ↗ → 1.5³ < 1.7³。
（2）y=1/x ↘ → 0.8⁻¹ > 1.2⁻¹。
（3）x^{2/3} 是偶函数，化为正数比较。2.5 < 3.1 → (−2.5)^{2/3} < (−3.1)^{2/3}。
f(x₁)−f(x₂) = 3(x₁−x₂) < 0。单调递增。
f(x₁)−f(x₂) = (x₂−x₁)(x₂+x₁)/(x₁²x₂²) > 0。单调递减。
f(x) = (x+1)²−4，顶点 x=−1。
(−∞,−1] ↘，[−1,+∞) ↗
f(−x) = (−x)⁴ = x⁴ = f(x)。偶函数。
f(−x) = −x−1/x = −f(x)。奇函数。
f(−x) = x²−x ≠ f(x)，≠ −f(x)。非奇非偶。
f(−3) = f(3) = 7
f(0) = −f(0) → f(0) = 0。
f(x₁)−f(x₂) = (x₁−x₂)(1−1/(x₁x₂))。x₁−x₂ < 0。x₁x₂ > 1 → 1−1/(x₁x₂) > 0。差式 < 0。单调递增。
f(1) = 2，f(−1) = 1。f(−1) ≠ f(1)，≠ −f(1)。非奇非偶。
x < 0 时：f(x) = −f(−x) = −x²−2x。x=0 时 f(0)=0。
f(x) = { x²−2x (x>0); 0 (x=0); −x²−2x (x<0) }
f(−x) = f(x) → −2mx = 2mx → m = 0。
m = 0
偶函数：f(a)=f(|a|)，f(2a−1)=f(|2a−1|)。在 [0,+∞) 上递减 → |a| < |2a−1|。
平方：a² < 4a²−4a+1 → 3a²−4a+1 > 0 → (3a−1)(a−1) > 0。
a < 1/3 或 a > 1
f(x) = (x−a)²+3−a²，对称轴 x=a。在 (−∞,a] 上递减。要 (−∞,2] ⊆ (−∞,a]。
a ≥ 2
周期 2：f(7/2) = f(3/2) = f(−1/2)。奇函数：f(−1/2) = −f(1/2)。
f(1/2) = 2^{1/2} = √2。
f(7/2) = −√2