第 2 课：乘法公式拓展
初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块
📚 重点高中准高一
⏱ 90 分钟
⭐⭐⭐ 中等难度
一、知识梳理
1. 初中回顾
| 公式 | 表达式 | 文字描述 |
|---|
| 平方差 | (a+b)(a−b)=a²−b² | 两数和 × 两数差 = 平方差 |
| 完全平方 | (a±b)²=a²±2ab+b² | 两数和（差）的平方 |
⚠️ 初中间隔：苏科版七下仅教学平方差和完全平方公式，不涉及立方和差公式、三数和平方公式。
2. 高中升级内容
（1）立方和公式
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
口诀："和 ×（平方和 − 积）= 立方和"
（2）立方差公式
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
口诀："差 ×（平方和 + 积）= 立方差"
⚠️ 易错提醒：立方和中间是 减号，立方差中间是 加号 —— 符号相反！
（3）三数和平方公式
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
三个数的平方和 + 两两乘积的 2 倍（共 6 项）
（4）常见恒等变形
| 变形 | 公式 | 用途 |
|---|
| 平方和转和积 | a²+b²=(a+b)²−2ab | 已知和与积，求平方和 |
| 平方和转差积 | a²+b²=(a−b)²+2ab | 已知差与积，求平方和 |
| 和差求积 | (a+b)²−(a−b)²=4ab | 已知和与差，求积 |
| 三数平方和 | a²+b²+c²=(a+b+c)²−2(ab+bc+ca) | 三数条件求值 |
| 对称非负式 | a²+b²+c²−ab−bc−ca = ½[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²] | 证明不等式、求最值 |
| 立方和变形 | a³+b³=(a+b)³−3ab(a+b) | 整体代换求值 |
二、典例精讲
【例 1】立方和/差公式的直接运用
- (x+2)(x²−2x+4)
- (2x−1)(4x²+2x+1)
- (a+3b)(a²−3ab+9b²)
【例 2】因式分解（立方和/差）
- 27x³ + 8
- x³ − 125
- a⁶ − b⁶
【例 3】三数和平方公式
- (x+2y−3z)²
- (2a−b+c)²
【例 4】恒等变形 —— 条件求值
- 已知 a+b=5, ab=6，求 a²+b²
- 已知 x+1/x=3，求 x²+1/x²
- 已知 a−b=3, ab=2，求 a²+b²
【例 5】综合应用
- 已知 a+b+c=6, ab+bc+ca=11，求 a²+b²+c²
- 已知 a+b+c=0, abc=1，求 a³+b³+c³
- 计算：(x+1)(x−1)(x²+x+1)(x²−x+1)
三、举一反三
针对例 1（立方和/差）
- (x+3)(x²−3x+9)
- (3a−2b)(9a²+6ab+4b²)
针对例 2（因式分解）
- 8x³+27
- x⁶+64
针对例 3（三数和平方）
- (2x−y+3z)²
- (a−2b+c)²
针对例 4（条件求值）
- 已知 a+b=7, ab=10，求 a²+b²
- 已知 x−1/x=4，求 x²+1/x²
针对例 5（综合应用）
- 已知 a+b+c=4, a²+b²+c²=10，求 ab+bc+ca
- 已知 a+b=4, ab=3，求 a³+b³
四、课后作业
A 组 · 基础题（8 题）
- 计算：(x+1)(x²−x+1)
- 计算：(2x−3)(4x²+6x+9)
- 分解因式：x³+64
- 分解因式：8a³−27b³
- 计算：(x+y+2z)²
- 计算：(2a−b+1)²
- 已知 a+b=4, ab=2，求 a²+b²
- 已知 x+1/x=5，求 x²+1/x²
B 组 · 提高题（4 题）
- 已知 a+b+c=3, ab+bc+ca=−1，求 a²+b²+c²
- 计算：(a+1)(a−1)(a²+a+1)(a²−a+1)
- 分解因式：x⁹−1
- 已知 a+b=5, ab=6，求 a³+b³
C 组 · 挑战题（3 题）
- 已知 a+b+c=0, a²+b²+c²=1，求 a⁴+b⁴+c⁴
- 已知 a,b,c 为正实数，a+b+c=1，求 a²+b²+c² 的最小值
- 分解因式：a³(b−c)+b³(c−a)+c³(a−b)