第 6 课：韦达定理及应用

初升高数学衔接课程 · 二次函数深化模块

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 韦达定理

对于 ax²+bx+c=0（a≠0），若两根为 x₁、x₂，则：

x₁ + x₂ = -b/a， x₁ · x₂ = c/a

前提：方程有实数根，即 Δ ≥ 0。

2. 对称式求值

对称式	变形公式
x₁² + x₂²	(x₁+x₂)² - 2x₁x₂
\|x₁ - x₂\|	√Δ / \|a\|
1/x₁ + 1/x₂	(x₁+x₂) / (x₁x₂)
x₁³ + x₂³	(x₁+x₂)³ - 3x₁x₂(x₁+x₂)

3. 根的分布问题 ☆ 核心

核心思想：将方程根的问题转化为二次函数图像与 x 轴交点位置的问题。

解题四要素：

开口方向（a 的正负）
判别式 Δ ≥ 0
对称轴位置 x = -b/(2a)
端点函数值 f(k) 的符号

题型	条件（a>0 时）
两根都大于 k	Δ≥0，对称轴>k，f(k)>0
两根都小于 k	Δ≥0，对称轴<k，f(k)>0
两根都在 (m,n) 内	Δ≥0，m<对称轴<n，f(m)>0，f(n)>0
一根大于 k，一根小于 k	a·f(k) < 0（最简！）
一根在 (m,n) 内，一根在外	f(m)·f(n) < 0

二、典例精讲

【例 1】韦达定理基础

题目：x²+4x+1=0 的两根

x₁+x₂=-4，x₁x₂=1

1.1 x₁+x₂=3/2，x₁x₂=-1/2
1.2 x²-5x+3=0

【例 2】对称式求值

题目：x²-3x+1=0 的两根

x₁²+x₂²=7；1/x₁+1/x₂=3；|x₁-x₂|=√5

2.1 |x₁-x₂|=√41/2
2.2 x₁³+x₂³=18

【例 3】构造新方程

题目：x²-x-1=0 的两根，求以 1/α、1/β 为根的方程

x²+x-1=0

【例 4】根的分布（两根在区间内）

题目：x²-2mx+m+2=0 在 (0,3) 内有两个不同的实根

2 < m < 11/5

【例 5】根的分布（一根在内一根在外）

题目：x²+kx+k²+k-4=0 一根>2，一根<2

f(2)=k²+3k<0 → -3 < k < 0

5.1 -3 < a < 0
5.2 -1/2 < m < 1

【例 6】根的分布（两根分别在两个区间）

题目：x²+2mx+2m+1=0，一根在 (-1,0)，一根在 (1,2)

-5/6 < m < -1/2

【例 7】含参方程根的个数

题目：(a-1)x²+2x+1=0 有实数根

a=1 √；a≠1 时需 Δ≥0 → a ≤ 2

三、课后作业（20 题）

A 组 · 基础题（8 题）

x₁+x₂=5，x₁x₂=3
x₁+x₂=-2/3，x₁x₂=-1/3
7
3
x²+2x-3=0
2√2
m≥4 或 m≤-4
k=9

B 组 · 提高题（7 题）

45/8
21/2
x²-3x+1=0
3 < m ≤ 4
m < 1/2 且 m ≠ 0
a ∈ (1,2) ∪ (2,3)
m < -2

C 组 · 挑战题（5 题）

m > (3+√7)/4
a ∈ (5, 16/3]
m ∈ (-5, -4]
k = -2 或 1
a ∈ [-3,-1) ∪ (3,5]