第 6 课：韦达定理及应用

初升高数学衔接课程 · 二次函数深化模块 · 教师版

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 韦达定理

x₁+x₂=-b/a， x₁x₂=c/a（需 Δ≥0）

2. 对称式求值

对称式	公式
x₁²+x₂²	(x₁+x₂)²-2x₁x₂
\|x₁-x₂\|	√Δ/\|a\|
1/x₁+1/x₂	(x₁+x₂)/(x₁x₂)

3. 根的分布 ☆

四要素：开口方向 · 判别式 · 对称轴 · 端点值

最简：一根大于 k，一根小于 k → a·f(k)<0

二、典例精讲（含答案）

【例 1】韦达定理基础

【解答】

x₁+x₂=-4，x₁x₂=1

1.1 3/2，-1/2
1.2 x²-5x+3=0

【例 2】对称式求值

【解答】

7，3，√5

2.1 √41/2
2.2 18

【例 3】构造新方程

【解答】

x²+x-1=0

【例 4】根的分布（两根在区间内）

【解答】

2 < m < 11/5

4.1 m>3+2√2

【例 5】根的分布（一根在内一根在外）

【解答】

-3 < k < 0

5.1 -3 < a < 0
5.2 -1/2 < m < 1

【例 6】两根分别在两个区间

【解答】

-5/6 < m < -1/2

【例 7】含参方程根的个数

【解答】

a ≤ 2

7.1 恒有实根；m=1 时等根
7.2 m≥2 或 m≤-2

三、课后作业（含答案）

A 组 · 基础题

5，3
-2/3，-1/3
7
3
x²+2x-3=0
2√2
m≥4 或 m≤-4
k=9

B 组 · 提高题

45/8
21/2
x²-3x+1=0
3<m≤4
m<1/2 且 m≠0
a∈(1,2)∪(2,3)
m<-2

C 组 · 挑战题

m>(3+√7)/4
a∈(5,16/3]
m∈(-5,-4]
k=-2 或 1
a∈[-3,-1)∪(3,5]