第 7 课：二次不等式

初升高数学衔接课程 · 二次函数深化模块（收官）

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. "三个二次"关系

二次函数 y=ax²+bx+c ↔ 方程 ax²+bx+c=0 ↔ 不等式 ax²+bx+c>0

三者通过二次函数图像统一。

2. 一元二次不等式解法

口诀："大于取两边，小于取中间"（a>0 时）

Δ	方程根	>0 解集	<0 解集
>0	两根 x₁<x₂	(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)	(x₁,x₂)
=0	等根 x₀	(-∞,x₀)∪(x₀,+∞)	∅
<0	无实根	R（全体实数）	∅

3. 含参二次不等式

讨论层次：

二次项系数是否为 0
判别式 Δ 的正负
两根的大小关系

4. 恒成立问题

在 R 上：ax²+bx+c>0 对一切 x 恒成立 ↔ a>0 且 Δ<0

在区间上：f(x)>0 在 [m,n] 上恒成立 ↔ f(x) 在 [m,n] 上的最小值 > 0

二、典例精讲

【例 1】基础解法

题目：x²-5x+6>0

(-∞,2)∪(3,+∞)

1.1 (1,6)
1.2 [-4,1]

【例 2】含参（因式分解型）

题目：x²-(1+a)x+a<0

(x-1)(x-a)<0

a>1：(1,a)
a<1：(a,1)
a=1：∅

【例 3】含参（判别式型）

题目：x²+2ax+3a²<0

Δ=-8a²<0，恒大于 0 → ∅

【例 4】已知解集求参数

题目：ax²+5x+b>0 的解集为 (2,3)

a=-1, b=-6

【例 5】恒成立（R 上）

题目：ax²+2x+a>0 对一切 x∈R 恒成立

a > 1

5.1 0≤k≤4
5.2 -1<a<2

【例 6】恒成立（区间上）

题目：x²-2mx+m+2>0 在 [0,2] 上恒成立

-2 < m < 2

【例 7】"三个二次"综合

(1) (-∞,-1)∪(3,+∞)；(2) (-1,3)

三、课后作业（20 题）

A 组 · 基础题（8 题）

x²-x-6<0
x²-4x+4≥0
-x²+2x-3<0
x²+x+1>0
2x²-5x-3≤0
3x²+2x-1>0
已知 ax²+bx+6>0 的解集为 (-2,3)，求 a,b
A={x|x²-4x+3<0}，B={x|x²-6x+8<0}，求 A∩B

B 组 · 提高题（7 题）

解 x²-(a+2)x+2a<0
解 ax²-(a+2)x+2<0（a>0）
x²+ax+4>0 对一切 x 恒成立，求 a
-x²+ax-4≥0 的解集为空集，求 a
x²-2x+m>0 在 [1,3] 上恒成立，求 m
f(x)=x²+ax+3，在 [-2,2] 上 f(x)≥a 恒成立，求 a
解 x²-(m+1)x+m>0

C 组 · 挑战题（5 题）

(m+3)x²-(2m+3)x+m>0 的解集为 R，求 m
x²-2mx+m+2>0 在 [-1,1] 上恒成立，求 m
mx²-(m+1)x+1>0 的解集为 ∅，求 m
ax²+bx+c>0 的解集为 (-2,3)，求 cx²+bx+a>0 的解集
A={x|x²-(a+1)x+a<0}，B={x|x²-3x+2<0}，A⊆B，求 a